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Popular >

csc^2(x)-2csc(x)=2-4sin(x),0<= x<= 2pi

Solución

csc^{2} (x) - 2 csc (x) = 2 - 4 sin (x), 0 \leq x \leq 2 π

Solución

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{5 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Grados

x = 3 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}, x = 22 5^{\circ}, x = 31 5^{\circ}, x = 4 5^{\circ}, x = 13 5^{\circ}

Pasos de solución

csc^{2} (x) - 2 csc (x) = 2 - 4 sin (x), 0 \leq x \leq 2 π

Restar

2 - 4 sin (x)

de ambos lados

csc^{2} (x) - 2 csc (x) - 2 + 4 sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 + csc^{2} (x) - 2 csc (x) + 4 sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - 2 + csc^{2} (x) - 2 csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= - 2 + csc^{2} (x) - 2 csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

- 2 + csc^{2} (x) + \frac{4}{csc ( x )} - 2 csc (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 + csc^{2} (x) + \frac{4}{csc ( x )} - 2 csc (x) = 0

Sea:

csc (x) = u

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0 : u = 2, u = - 2, u = 2

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 2 u + u^{2} u + \frac{4}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 2 u + u^{2} u + \frac{4}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Simplificar

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= u^{3}

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 4

Simplificar

- 2 uu : - 2 u^{2}

- 2 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 2 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= - 2 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

Resolver

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0 : u = 2, u = - 2, u = 2

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} - 2 u^{2} - 2 u + 4 = 0

Factorizar

u^{3} - 2 u^{2} - 2 u + 4 : (u - 2) (u + 2) (u - 2)

u^{3} - 2 u^{2} - 2 u + 4

= (u^{3} - 2 u^{2}) + (- 2 u + 4)

Factorizar

- 2

- 2 u + 4

- 2 (u - 2)

- 2 u + 4

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= - 2 u + 2 \cdot 2

Factorizar el termino común

- 2

= - 2 (u - 2)

Factorizar

u^{2}

u^{3} - 2 u^{2}

u^{2} (u - 2)

u^{3} - 2 u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - 2 u^{2}

Factorizar el termino común

u^{2}

= u^{2} (u - 2)

= - 2 (u - 2) + u^{2} (u - 2)

Factorizar el termino común

u - 2

= (u - 2) (u^{2} - 2)

Factorizar

u^{2} - 2 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= u^{2} - (2)^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (2)^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u - 2) (u + 2) (u - 2)

(u - 2) (u + 2) (u - 2) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 2 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Resolver

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

u - 2 = 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

Resolver

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u = - 2

u = - 2

Resolver

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

u - 2 = 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

Las soluciones son

u = 2, u = - 2, u = 2

u = 2, u = - 2, u = 2

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 2, u = - 2, u = 2

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = 2, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = 2, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = 2, 0 \leq x \leq 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

csc (x) = 2, 0 \leq x \leq 2 π

Soluciones generales para

csc (x) = 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x \leq 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

csc (x) = - 2, 0 \leq x \leq 2 π : x = \frac{5 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

csc (x) = - 2, 0 \leq x \leq 2 π

Soluciones generales para

csc (x) = - 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x \leq 2 π

x = \frac{5 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

csc (x) = 2, 0 \leq x \leq 2 π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

csc (x) = 2, 0 \leq x \leq 2 π

Soluciones generales para

csc (x) = 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x \leq 2 π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{5 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Ejemplos populares

sin^2(x)=((9m-4))/7

sin^{2} (x) = \frac{( 9 m - 4 )}{7}

cos(x)=sqrt(3/2)

cos (x) = \frac{3}{2}

6sin^2(θ)-sin(θ)-1=0

6 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 1 = 0

cos(x)=tan(x)sin(x)

cos (x) = tan (x) sin (x)

1-2cos^2(8x)=sin(4x)

1 - 2 cos^{2} (8 x) = sin (4 x)