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Popular >

csc(2χ)= 1/(1-cos(2χ))

Solución

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

Solución

χ = \frac{π}{4} + πn

Grados

χ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

Restar

\frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

de ambos lados

csc (2 χ) - \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )} = 0

Simplificar

csc (2 χ) - \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )} : \frac{csc ( 2 χ ) ( 1 - cos ( 2 χ ) ) - 1}{1 - cos ( 2 χ )}

csc (2 χ) - \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

Convertir a fracción:

csc (2 χ) = \frac{csc ( 2 χ ) ( 1 - cos ( 2 χ ) )}{1 - cos ( 2 χ )}

= \frac{csc ( 2 χ ) ( 1 - cos ( 2 χ ) )}{1 - cos ( 2 χ )} - \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{csc ( 2 χ ) ( 1 - cos ( 2 χ ) ) - 1}{1 - cos ( 2 χ )}

\frac{csc ( 2 χ ) ( 1 - cos ( 2 χ ) ) - 1}{1 - cos ( 2 χ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

csc (2 χ) (1 - cos (2 χ)) - 1 = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{1}{sin ( 2 χ )} (1 - cos (2 χ)) - 1 = 0

Simplificar

\frac{1}{sin ( 2 χ )} (1 - cos (2 χ)) - 1 : \frac{1 - cos ( 2 χ ) - sin ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )}

\frac{1}{sin ( 2 χ )} (1 - cos (2 χ)) - 1

\frac{1}{sin ( 2 χ )} (1 - cos (2 χ)) = \frac{1 - cos ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )}

\frac{1}{sin ( 2 χ )} (1 - cos (2 χ))

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 - cos ( 2 χ ) )}{sin ( 2 χ )}

1 \cdot (1 - cos (2 χ)) = 1 - cos (2 χ)

1 \cdot (1 - cos (2 χ))

Multiplicar:

1 \cdot (1 - cos (2 χ)) = (1 - cos (2 χ))

= (1 - cos (2 χ))

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 - cos (2 χ)

= \frac{1 - cos ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )}

= \frac{- cos ( 2 χ ) + 1}{sin ( 2 χ )} - 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 sin ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )}

= \frac{1 - cos ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )} - \frac{1 \cdot sin ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( 2 χ ) - 1 \cdot sin ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (2 χ) = sin (2 χ)

= \frac{1 - cos ( 2 χ ) - sin ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )}

\frac{1 - cos ( 2 χ ) - sin ( 2 χ )}{sin ( 2 χ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - cos (2 χ) - sin (2 χ) = 0

Sumar

sin (2 χ)

a ambos lados

1 - cos (2 χ) = sin (2 χ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(1 - cos (2 χ))^{2} = sin^{2} (2 χ)

Restar

sin^{2} (2 χ)

de ambos lados

(1 - cos (2 χ))^{2} - sin^{2} (2 χ) = 0

Factorizar

(1 - cos (2 χ))^{2} - sin^{2} (2 χ) : (1 - cos (2 χ) + sin (2 χ)) (1 - cos (2 χ) - sin (2 χ))

(1 - cos (2 χ))^{2} - sin^{2} (2 χ)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - cos (2 χ))^{2} - sin^{2} (2 χ) = ((1 - cos (2 χ)) + sin (2 χ)) ((1 - cos (2 χ)) - sin (2 χ))

= ((1 - cos (2 χ)) + sin (2 χ)) ((1 - cos (2 χ)) - sin (2 χ))

Simplificar

= (sin (2 χ) - cos (2 χ) + 1) (- cos (2 χ) - sin (2 χ) + 1)

(1 - cos (2 χ) + sin (2 χ)) (1 - cos (2 χ) - sin (2 χ)) = 0

Resolver cada parte por separado

1 - cos (2 χ) + sin (2 χ) = 0 or 1 - cos (2 χ) - sin (2 χ) = 0

1 - cos (2 χ) + sin (2 χ) = 0 : χ = πn + \frac{3 π}{4}, χ = πn + π

1 - cos (2 χ) + sin (2 χ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - cos (2 χ) + sin (2 χ)

sin (2 χ) - cos (2 χ) = 2 sin (2 χ - \frac{π}{4})

sin (2 χ) - cos (2 χ)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (2 χ) - \frac{1}{2} cos (2 χ))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (2 χ) - sin (\frac{π}{4}) cos (2 χ))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (2 χ - \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (2 χ - \frac{π}{4})

1 + 2 sin (2 χ - \frac{π}{4}) = 0

Mover

1

al lado derecho

1 + 2 sin (2 χ - \frac{π}{4}) = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + 2 sin (2 χ - \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 sin (2 χ - \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (2 χ - \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (2 χ - \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( 2 χ - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( 2 χ - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( 2 χ - \frac{π}{4} )}{2} : sin (2 χ - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( 2 χ - \frac{π}{4} )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (2 χ - \frac{π}{4})

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (2 χ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (2 χ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (2 χ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Soluciones generales para

sin (2 χ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 χ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 χ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Resolver

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : χ = πn + \frac{3 π}{4}

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : 2 χ

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= 2 χ

Simplificar

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{3 π}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 5 π}{4}

Sumar elementos similares:

π + 5 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

2 χ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

2 χ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

2 χ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Dividir ambos lados entre

2

2 χ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 χ}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Simplificar

\frac{2 χ}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Simplificar

\frac{2 χ}{2} : χ

\frac{2 χ}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= χ

Simplificar

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2} : πn + \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

= πn + \frac{3 π}{4}

χ = πn + \frac{3 π}{4}

χ = πn + \frac{3 π}{4}

χ = πn + \frac{3 π}{4}

Resolver

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : χ = πn + π

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

2 χ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : 2 χ

2 χ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= 2 χ

Simplificar

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + 2 π

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

2 π

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 7 π}{4}

Sumar elementos similares:

π + 7 π = 8 π

= \frac{8 π}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= 2 π

= 2 πn + 2 π

2 χ = 2 πn + 2 π

2 χ = 2 πn + 2 π

2 χ = 2 πn + 2 π

Dividir ambos lados entre

2

2 χ = 2 πn + 2 π

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 χ}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{2 π}{2}

Simplificar

χ = πn + π

χ = πn + π

χ = πn + \frac{3 π}{4}, χ = πn + π

1 - cos (2 χ) - sin (2 χ) = 0 : χ = 2 πn, χ = π + 2 πn, χ = \frac{π}{4} + πn

1 - cos (2 χ) - sin (2 χ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - cos (2 χ) - sin (2 χ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 - cos (2 χ) - 2 sin (χ) cos (χ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - (1 - 2 sin^{2} (χ)) - 2 cos (χ) sin (χ)

Simplificar

1 - (1 - 2 sin^{2} (χ)) - 2 cos (χ) sin (χ) : 2 sin^{2} (χ) - 2 cos (χ) sin (χ)

1 - (1 - 2 sin^{2} (χ)) - 2 cos (χ) sin (χ)

- (1 - 2 sin^{2} (χ)) : - 1 + 2 sin^{2} (χ)

- (1 - 2 sin^{2} (χ))

Poner los parentesis

= - (1) - (- 2 sin^{2} (χ))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (χ)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (χ) - 2 cos (χ) sin (χ)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (χ) - 2 cos (χ) sin (χ)

= 2 sin^{2} (χ) - 2 cos (χ) sin (χ)

2 sin^{2} (χ) - 2 cos (χ) sin (χ) = 0

Factorizar

2 sin^{2} (χ) - 2 cos (χ) sin (χ) : 2 sin (χ) (sin (χ) - cos (χ))

2 sin^{2} (χ) - 2 cos (χ) sin (χ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (χ) = sin (χ) sin (χ)

= 2 sin (χ) sin (χ) - 2 sin (χ) cos (χ)

Factorizar el termino común

2 sin (χ)

= 2 sin (χ) (sin (χ) - cos (χ))

2 sin (χ) (sin (χ) - cos (χ)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (χ) = 0 or sin (χ) - cos (χ) = 0

sin (χ) = 0 : χ = 2 πn, χ = π + 2 πn

sin (χ) = 0

Soluciones generales para

sin (χ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

χ = 0 + 2 πn, χ = π + 2 πn

χ = 0 + 2 πn, χ = π + 2 πn

Resolver

χ = 0 + 2 πn : χ = 2 πn

χ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

χ = 2 πn

χ = 2 πn, χ = π + 2 πn

sin (χ) - cos (χ) = 0 : χ = \frac{π}{4} + πn

sin (χ) - cos (χ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (χ) - cos (χ) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (χ), cos (χ) \neq = 0

\frac{sin ( χ ) - cos ( χ )}{cos ( χ )} = \frac{0}{cos ( χ )}

Simplificar

\frac{sin ( χ )}{cos ( χ )} - 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (χ) - 1 = 0

tan (χ) - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (χ) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

tan (χ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

tan (χ) = 1

tan (χ) = 1

Soluciones generales para

tan (χ) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

χ = \frac{π}{4} + πn

χ = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

χ = 2 πn, χ = π + 2 πn, χ = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

χ = πn + \frac{3 π}{4}, χ = πn + π, χ = 2 πn, χ = π + 2 πn, χ = \frac{π}{4} + πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

πn + \frac{3 π}{4} :

Falso

πn + \frac{3 π}{4}

Sustituir

n = 1

π 1 + \frac{3 π}{4}

Multiplicar

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

por

χ = π 1 + \frac{3 π}{4}

csc (2 (π 1 + \frac{3 π}{4})) = \frac{1}{1 - cos ( 2 ( π 1 + \frac{3 π}{4} ) )}

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

πn + π :

Falso

πn + π

Sustituir

n = 1

π 1 + π

Multiplicar

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

por

χ = π 1 + π

csc (2 (π 1 + π)) = \frac{1}{1 - cos ( 2 ( π 1 + π ) )}

Sin definir

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 πn :

Falso

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

por

χ = 2 π 1

csc (2 \cdot 2 π 1) = \frac{1}{1 - cos ( 2 \cdot 2 π 1 )}

Sin definir

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + 2 π 1

Multiplicar

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

por

χ = π + 2 π 1

csc (2 (π + 2 π 1)) = \frac{1}{1 - cos ( 2 ( π + 2 π 1 ) )}

Sin definir

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{π}{4} + πn :

Verdadero

\frac{π}{4} + πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{4} + π 1

Multiplicar

csc (2 χ) = \frac{1}{1 - cos ( 2 χ )}

por

χ = \frac{π}{4} + π 1

csc (2 (\frac{π}{4} + π 1)) = \frac{1}{1 - cos ( 2 ( \frac{π}{4} + π 1 ) )}

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

χ = \frac{π}{4} + πn

Ejemplos populares

cos(2x)-2sin(x)=1

cos (2 x) - 2 sin (x) = 1

sqrt(3)cos(x)-sin(x)=-1

3 cos (x) - sin (x) = - 1

solvefor x,g=f(sin(6x-7y))resolver para

x, g = f (sin (6 x - 7 y))

arccos((sqrt(3))/2)+arcsin(3x)= pi/2

arccos (\frac{3}{2}) + arcsin (3 x) = \frac{π}{2}

2sin(x)=5cos(x),0<= x<360

2 sin (x) = 5 cos (x), 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}