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Beliebt Trigonometrie >

sec(x)sin(x)+cos(x)=sec(x)

Lösung

sec (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

Subtrahiere

sec (x)

von beiden Seiten

sec (x) sin (x) + cos (x) - sec (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{cos ( x )} sin (x) + cos (x) - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} sin (x) + cos (x) - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) - 1 + cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} sin (x) + cos (x) - \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} sin (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + cos (x) - \frac{1}{cos ( x )}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )} + cos (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )} + \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 1 + cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

sin (x) - 1 + cos (x) cos (x) = sin (x) - 1 + cos^{2} (x)

sin (x) - 1 + cos (x) cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= sin (x) - 1 + cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x ) - 1 + cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - 1 + cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - 1 + cos^{2} (x) = 0

Subtrahiere

cos^{2} (x)

von beiden Seiten

sin (x) - 1 = - cos^{2} (x)

Quadriere beide Seiten

(sin (x) - 1)^{2} = (- cos^{2} (x))^{2}

Subtrahiere

(- cos^{2} (x))^{2}

von beiden Seiten

(sin (x) - 1)^{2} - cos^{4} (x) = 0

Faktorisiere

(sin (x) - 1)^{2} - cos^{4} (x) : (sin (x) - 1 + cos^{2} (x)) (sin (x) - 1 - cos^{2} (x))

(sin (x) - 1)^{2} - cos^{4} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= (sin (x) - 1)^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin (x) - 1)^{2} - (cos^{2} (x))^{2} = ((sin (x) - 1) + cos^{2} (x)) ((sin (x) - 1) - cos^{2} (x))

= ((sin (x) - 1) + cos^{2} (x)) ((sin (x) - 1) - cos^{2} (x))

Fasse zusammen

= (cos^{2} (x) + sin (x) - 1) (sin (x) - cos^{2} (x) - 1)

(sin (x) - 1 + cos^{2} (x)) (sin (x) - 1 - cos^{2} (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) - 1 + cos^{2} (x) = 0 or sin (x) - 1 - cos^{2} (x) = 0

sin (x) - 1 + cos^{2} (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) - 1 + cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos^{2} (x) + sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin (x) - sin^{2} (x)

sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 0, sin (x) = 1

sin (x) = 0, sin (x) = 1

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) - 1 - cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) - 1 - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos^{2} (x) + sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - (1 - sin^{2} (x)) + sin (x)

Vereinfache

- 1 - (1 - sin^{2} (x)) + sin (x) : sin^{2} (x) + sin (x) - 2

- 1 - (1 - sin^{2} (x)) + sin (x)

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= - 1 - 1 + sin^{2} (x) + sin (x)

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= sin^{2} (x) + sin (x) - 2

= sin^{2} (x) + sin (x) - 2

- 2 + sin (x) + sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + sin (x) + sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2 + u + u^{2} = 0

- 2 + u + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 2

- 2 + u + u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 3

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1} : - 2

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - 2

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1, sin (x) = - 2

sin (x) = 1, sin (x) = - 2

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 2 :

Keine Lösung

sin (x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sec (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

sec (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

sec (2 π 1) sin (2 π 1) + cos (2 π 1) = sec (2 π 1)

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

sec (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

sec (π + 2 π 1) sin (π + 2 π 1) + cos (π + 2 π 1) = sec (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

sec (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) + cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = sec (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

\infty = \infty

\Rightarrow Wahr

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{π}{2} + 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)+4csc(x)+5=0,0<= x<= 2pi

sin (x) + 4 csc (x) + 5 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

r=asin(3x)

r = a sin (3 x)

sin(x)= 18/25

sin (x) = \frac{18}{25}

cos^2(t)=0

cos^{2} (t) = 0

sin(x)= 18/12

sin (x) = \frac{18}{12}