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arctan(x)+arctan(3x)+arctan(7x)=180

Lösung

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) = 18 0^{\circ}

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) = 18 0^{\circ}

Subtrahiere

18 0^{\circ}

von beiden Seiten

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) - 18 0^{\circ} = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (3 x) + arctan (7 x) + arctan (x) - 18 0^{\circ}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (x) - 18 0^{\circ} + arctan (\frac{3 x + 7 x}{1 - 3 x \cdot 7 x})

\frac{3 x + 7 x}{1 - 3 x \cdot 7 x} = \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}}

\frac{3 x + 7 x}{1 - 3 x \cdot 7 x}

Addiere gleiche Elemente:

3 x + 7 x = 10 x

= \frac{10 x}{1 - 3 \cdot 7 xx}

1 - 3 x \cdot 7 x = 1 - 21 x^{2}

1 - 3 x \cdot 7 x

3 x \cdot 7 x = 21 x^{2}

3 x \cdot 7 x

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 7 = 21

= 21 xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 21 x^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 21 x^{2}

= 1 - 21 x^{2}

= \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}}

= arctan (x) - 18 0^{\circ} + arctan (\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= - 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x})

- 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 0

Verschiebe

18 0^{\circ}

auf die rechte Seite

- 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 0

Füge

18 0^{\circ}

zu beiden Seiten hinzu

- 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) + 18 0^{\circ} = 0 + 18 0^{\circ}

Vereinfache

arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 18 0^{\circ}

arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 18 0^{\circ}

- \frac{π}{2} < arctan (x) < \frac{π}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) = 18 0^{\circ}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

2 cos (a) = 1

16 sin^{2} (θ) = 12

sin (4 y) + sin (6 y) + cos (y) = 0

4 cos (x) = sin^{2} (x) - 2 - 3 cos^{2} (x)

50 sin (x) + 15 cos (x) = 40, 0 < x < π