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Beliebt Trigonometrie >

3sin(φ)-cos(2φ)=1

Lösung

3 sin (φ) - cos (2 φ) = 1

Lösung

φ = \frac{π}{6} + 2 πn, φ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

+1

Grad

φ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, φ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (φ) - cos (2 φ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 sin (φ) - cos (2 φ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos (2 φ) + 3 sin (φ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 - (1 - 2 sin^{2} (φ)) + 3 sin (φ)

Vereinfache

- 1 - (1 - 2 sin^{2} (φ)) + 3 sin (φ) : 2 sin^{2} (φ) + 3 sin (φ) - 2

- 1 - (1 - 2 sin^{2} (φ)) + 3 sin (φ)

- (1 - 2 sin^{2} (φ)) : - 1 + 2 sin^{2} (φ)

- (1 - 2 sin^{2} (φ))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (φ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (φ)

= - 1 - 1 + 2 sin^{2} (φ) + 3 sin (φ)

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= 2 sin^{2} (φ) + 3 sin (φ) - 2

= 2 sin^{2} (φ) + 3 sin (φ) - 2

- 2 + 2 sin^{2} (φ) + 3 sin (φ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + 2 sin^{2} (φ) + 3 sin (φ) = 0

Angenommen:

sin (φ) = u

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 2

- 2 + 2 u^{2} + 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 3, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 5

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Addiere die Zahlen:

9 + 16 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2} : - 2

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 2

Setze in

u = sin (φ)

ein

sin (φ) = \frac{1}{2}, sin (φ) = - 2

sin (φ) = \frac{1}{2}, sin (φ) = - 2

sin (φ) = \frac{1}{2} : φ = \frac{π}{6} + 2 πn, φ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (φ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (φ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

φ = \frac{π}{6} + 2 πn, φ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

φ = \frac{π}{6} + 2 πn, φ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (φ) = - 2 :

Keine Lösung

sin (φ) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

φ = \frac{π}{6} + 2 πn, φ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(4x)=2cos(2x)-1

cos (4 x) = 2 cos (2 x) - 1

cot^2(θ)+cot(θ)=0

cot^{2} (θ) + cot (θ) = 0

3cos^2(θ)-cos(θ)-4=0

3 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 4 = 0

tan(4x)=tan(2x)

tan (4 x) = tan (2 x)

- 2 sin (2 y) = 0