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Popolare Trigonometria >

tan^2(x)+cot^2(x)-2=0

Soluzione

tan^{2} (x) + cot^{2} (x) - 2 = 0

Soluzione

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Gradi

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan^{2} (x) + cot^{2} (x) - 2 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 2 + cot^{2} (x) + tan^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 2 + cot^{2} (x) + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 2 + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 2 + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} = 0

Sia:

cot (x) = u

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0 : u = 1, u = - 1

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

- 2 u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

- 2 u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Semplificare

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 1

Semplificare

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

Risolvi

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0 : u = 1, u = - 1

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Risolvi

v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = 1

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} - 4

2^{2} = 4

= 4 - 4

Sottrai i numeri:

4 - 4 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1} = 1

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

La soluzione dell'equazione quadratica è:

v = 1

v = 1

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Le soluzioni sono

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}

e confrontare con zero

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1, u = - 1

Sostituire indietro

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = - 1

cot (x) = 1, cot (x) = - 1

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

Soluzioni generali per

cot (x) = 1

cot (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

cot (x) = - 1

Soluzioni generali per

cot (x) = - 1

cot (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Grafico

Esempi popolari

(1+2cos(2x))^2=0

(1 + 2 cos (2 x))^{2} = 0

tan(2x)=0.6

tan (2 x) = 0.6

2sin(3θ)=-1

2 sin (3 θ) = - 1

cos((pi(x-7))/3)= 1/2

cos (\frac{π ( x - 7 )}{3}) = \frac{1}{2}

2cos(2x)+8cos(x)+5=0

2 cos (2 x) + 8 cos (x) + 5 = 0