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cos(a)+cos(2a)=-0.75

Lösung

cos (a) + cos (2 a) = - 0.75

Lösung

a = 1.38674 \dots + 2 πn, a = 2 π - 1.38674 \dots + 2 πn, a = 2.32267 \dots + 2 πn, a = - 2.32267 \dots + 2 πn

Grad

a = 79.45470 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 280.54529 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 133.07951 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = - 133.07951 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (a) + cos (2 a) = - 0.75

Subtrahiere

- 0.75

von beiden Seiten

cos (a) + cos (2 a) + 0.75 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

0.75 + cos (2 a) + cos (a)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 0.75 + 2 cos^{2} (a) - 1 + cos (a)

Vereinfache

0.75 + 2 cos^{2} (a) - 1 + cos (a) : 2 cos^{2} (a) + cos (a) - 0.25

0.75 + 2 cos^{2} (a) - 1 + cos (a)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (a) + cos (a) + 0.75 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

0.75 - 1 = - 0.25

= 2 cos^{2} (a) + cos (a) - 0.25

= 2 cos^{2} (a) + cos (a) - 0.25

- 0.25 + cos (a) + 2 cos^{2} (a) = 0

Löse mit Substitution

- 0.25 + cos (a) + 2 cos^{2} (a) = 0

Angenommen:

cos (a) = u

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 3}{4}, u = - \frac{1 + 3}{4}

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

100

- 0.25 + u + 2 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

- 0.25 \cdot 100 + u \cdot 100 + 2 u^{2} \cdot 100 = 0 \cdot 100

Fasse zusammen

- 25 + 100 u + 200 u^{2} = 0

- 25 + 100 u + 200 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

200 u^{2} + 100 u - 25 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

200 u^{2} + 100 u - 25 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 200, b = 100, c = - 25

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 \cdot 200 ( - 25 )}{2 \cdot 200}

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 10 0 ^{2} - 4 \cdot 200 ( - 25 )}{2 \cdot 200}

10 0^{2} - 4 \cdot 200 (- 25) = 1003

10 0^{2} - 4 \cdot 200 (- 25)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 10 0^{2} + 4 \cdot 200 \cdot 25

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 200 \cdot 25 = 20000

= 10 0^{2} + 20000

10 0^{2} = 10000

= 10000 + 20000

Addiere die Zahlen:

10000 + 20000 = 30000

= 30000

Primfaktorzerlegung von

30000 : 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

30000

30000

ist durch

230000 = 15000 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 15000

15000

ist durch

215000 = 7500 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7500

7500

ist durch

27500 = 3750 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3750

3750

ist durch

23750 = 1875 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1875

1875

ist durch

31875 = 625 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 625

625

ist durch

5625 = 125 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 125

125

ist durch

5125 = 25 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{4}

= 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

= 3 2^{4} 5^{4}

Wende Radikal Regel an:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3 5^{4}

Wende Radikal Regel an:

5^{4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2}

= 2^{2} \cdot 5^{2} 3

Fasse zusammen

= 1003

u_{1, 2} = \frac{- 100 \pm 100 3}{2 \cdot 200}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 100 + 100 3}{2 \cdot 200}, u_{2} = \frac{- 100 - 100 3}{2 \cdot 200}

u = \frac{- 100 + 100 3}{2 \cdot 200} : \frac{- 1 + 3}{4}

\frac{- 100 + 100 3}{2 \cdot 200}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 + 100 3}{400}

Faktorisiere

- 100 + 1003 : 100 (- 1 + 3)

- 100 + 1003

Schreibe um

= - 100 \cdot 1 + 1003

Klammere gleiche Terme aus

100

= 100 (- 1 + 3)

= \frac{100 ( - 1 + 3 )}{400}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

100

= \frac{- 1 + 3}{4}

u = \frac{- 100 - 100 3}{2 \cdot 200} : - \frac{1 + 3}{4}

\frac{- 100 - 100 3}{2 \cdot 200}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 200 = 400

= \frac{- 100 - 100 3}{400}

Faktorisiere

- 100 - 1003 : - 100 (1 + 3)

- 100 - 1003

Schreibe um

= - 100 \cdot 1 - 1003

Klammere gleiche Terme aus

100

= - 100 (1 + 3)

= - \frac{100 ( 1 + 3 )}{400}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

100

= - \frac{1 + 3}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 3}{4}, u = - \frac{1 + 3}{4}

Setze in

u = cos (a)

ein

cos (a) = \frac{- 1 + 3}{4}, cos (a) = - \frac{1 + 3}{4}

cos (a) = \frac{- 1 + 3}{4}, cos (a) = - \frac{1 + 3}{4}

cos (a) = \frac{- 1 + 3}{4} : a = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

cos (a) = \frac{- 1 + 3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (a) = \frac{- 1 + 3}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (a) = \frac{- 1 + 3}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

a = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

a = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn

cos (a) = - \frac{1 + 3}{4} : a = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, a = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

cos (a) = - \frac{1 + 3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (a) = - \frac{1 + 3}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (a) = - \frac{1 + 3}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

a = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, a = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

a = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, a = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

a = arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, a = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 3}{4}) + 2 πn, a = arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn, a = - arccos (- \frac{1 + 3}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

a = 1.38674 \dots + 2 πn, a = 2 π - 1.38674 \dots + 2 πn, a = 2.32267 \dots + 2 πn, a = - 2.32267 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x)=(-12)/(13)

sin (x) = \frac{- 12}{13}

8cos(x)=3csc(x)

8 cos (x) = 3 csc (x)

2sin(x)cos(x)-2sin(x)+cos(x)=1

2 sin (x) cos (x) - 2 sin (x) + cos (x) = 1

8cos(4x)=0

8 cos (4 x) = 0

cos(3x)+sin(5x)=0

cos (3 x) + sin (5 x) = 0