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arctan(1/(x-1))+arctan(2/(x+1))= pi/4

Solution

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Solution

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

étapes des solutions

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1})

Utiliser l'identité de la somme au produit:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}})

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Utiliser l'identité triviale suivante:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Résoudre

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Simplifier

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} : \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Relier

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} : \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

Plus petit commun multiple de

x - 1, x + 1 : (x - 1) (x + 1)

x - 1, x + 1

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

x - 1

ou dans

x + 1

= (x - 1) (x + 1)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

(x - 1) (x + 1)

Pour

\frac{1}{x - 1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

x + 1

\frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Pour

\frac{2}{x + 1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

x - 1

\frac{2}{x + 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

= \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Développer

x + 1 + 2 (x - 1) : 3 x - 1

x + 1 + 2 (x - 1)

Développer

2 (x - 1) : 2 x - 2

2 (x - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = x, c = 1

= 2 x - 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 x - 2

= x + 1 + 2 x - 2

Simplifier

x + 1 + 2 x - 2 : 3 x - 1

x + 1 + 2 x - 2

Grouper comme termes

= x + 2 x + 1 - 2

Additionner les éléments similaires :

x + 2 x = 3 x

= 3 x + 1 - 2

Additionner/Soustraire les nombres :

1 - 2 = - 1

= 3 x - 1

= 3 x - 1

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} )}

Relier

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplier:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Développer

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Développer

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Soustraire les nombres :

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

= \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{3 x - 1}{\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} ( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplier

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Annuler le facteur commun :

x - 1

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x + 1 )}{x + 1}

Annuler le facteur commun :

x + 1

= x^{2} - 3

= \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Multiplier les deux côtés par

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Multiplier les deux côtés par

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Simplifier

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Simplifier

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) : 3 x - 1

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 3 x - 1 ) ( x ^{2} - 3 )}{x ^{2} - 3}

Annuler le facteur commun :

x^{2} - 3

= 3 x - 1

Simplifier

1 \cdot (x^{2} - 3) : x^{2} - 3

1 \cdot (x^{2} - 3)

Multiplier:

1 \cdot (x^{2} - 3) = (x^{2} - 3)

= (x^{2} - 3)

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

Résoudre

3 x - 1 = x^{2} - 3 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

3 x - 1 = x^{2} - 3

Transposer les termes des côtés

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Déplacer

1

vers la gauche

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Ajouter

1

aux deux côtés

x^{2} - 3 + 1 = 3 x - 1 + 1

Simplifier

x^{2} - 2 = 3 x

x^{2} - 2 = 3 x

Déplacer

3 x

vers la gauche

x^{2} - 2 = 3 x

Soustraire

3 x

des deux côtés

x^{2} - 2 - 3 x = 3 x - 3 x

Simplifier

x^{2} - 2 - 3 x = 0

x^{2} - 2 - 3 x = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 3, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 17

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

Additionner les nombres :

9 + 8 = 17

= 17

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

x_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{3 + 17}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 17}{2}

x = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{3 - 17}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 17}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Prendre le(s) dénominateur(s) de

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

et le comparer à zéro

Résoudre

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0 : x = 3, x = - 3

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0

Simplifier

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} : - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= - \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Multiplier les deux côtés par

(x - 1) (x + 1)

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Multiplier les deux côtés par

(x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Simplifier

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Simplifier

1 \cdot (x - 1) (x + 1) : (x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1)

Multiplier:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= (x - 1) (x + 1)

Simplifier

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) : - 2

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Annuler le facteur commun :

x - 1

= - \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

Annuler le facteur commun :

x + 1

= - 2

Simplifier

0 \cdot (x - 1) (x + 1) : 0

0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Résoudre

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0 : x = 3, x = - 3

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Développer

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Développer

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Soustraire les nombres :

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

x^{2} - 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

x^{2} - 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = 0, c = - 3

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 23

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Appliquer la règle

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 0 + 12

Additionner les nombres :

0 + 12 = 12

= 12

Factorisation première de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

= 3 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 23

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

x_{1} = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 + 23 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 3}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 3

x = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 - 23 = - 23

= \frac{- 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 3}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= - 3

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

x = 3, x = - 3

x = 3, x = - 3

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

x = 1, x = - 1

Prendre le(s) dénominateur(s) de

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

et le comparer à zéro

Résoudre

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

x - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

x - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

x = 1

x = 1

Résoudre

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

x + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

x + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

x = - 1

x = - 1

Les points suivants ne sont pas définis

x = 1, x = - 1

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

x = 3, x = - 3

Résoudre

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

x - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

x - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

x = 1

x = 1

Résoudre

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

x + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

x + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

x = - 1

x = - 1

Les points suivants ne sont pas définis

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{3 + 17}{2} :

vrai

\frac{3 + 17}{2}

Insérer

n = 1

\frac{3 + 17}{2}

Pour

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

insérer

x = \frac{3 + 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 + 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 + 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Redéfinir

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{3 - 17}{2} :

vrai

\frac{3 - 17}{2}

Insérer

n = 1

\frac{3 - 17}{2}

Pour

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

insérer

x = \frac{3 - 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 - 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 - 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Redéfinir

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow vrai

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Exemples populaires

cot(3x)=-tan(-(2pi)/5)

cot (3 x) = - tan (- \frac{2 π}{5})

2-2sin(x)=3

2 - 2 sin (x) = 3

cos(x)= 60/61

cos (x) = \frac{60}{61}

cot(θ)=(sqrt(3))/8

cot (θ) = \frac{3}{8}

cot(x)=sqrt(2)

cot (x) = 2