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人気のある三角関数 >

arctan(1/(x-1))+arctan(2/(x+1))= pi/4

解

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

解

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

解答ステップ

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

三角関数の公式を使用して書き換える

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1})

和・積の公式を使用する:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}})

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

次の自明恒等式を使用する:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

解く

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

簡素化

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} : \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

結合

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} : \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

以下の最小公倍数:

x - 1, x + 1 : (x - 1) (x + 1)

x - 1, x + 1

最小公倍数 (LCM)

x - 1

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

x + 1

= (x - 1) (x + 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

(x - 1) (x + 1)

\frac{1}{x - 1}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

x + 1

\frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{2}{x + 1}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

x - 1

\frac{2}{x + 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

= \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

拡張

x + 1 + 2 (x - 1) : 3 x - 1

x + 1 + 2 (x - 1)

拡張

2 (x - 1) : 2 x - 2

2 (x - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = x, c = 1

= 2 x - 2 \cdot 1

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= 2 x - 2

= x + 1 + 2 x - 2

簡素化

x + 1 + 2 x - 2 : 3 x - 1

x + 1 + 2 x - 2

条件のようなグループ

= x + 2 x + 1 - 2

類似した元を足す:

x + 2 x = 3 x

= 3 x + 1 - 2

数を足す/引く:

1 - 2 = - 1

= 3 x - 1

= 3 x - 1

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} )}

結合

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

乗算:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

拡張

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

拡張

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

2乗の差の公式を適用する:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

数を引く:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

= \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{3 x - 1}{\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} ( x - 1 ) ( x + 1 )}

乗じる

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

共通因数を約分する:

x - 1

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x + 1 )}{x + 1}

共通因数を約分する:

x + 1

= x^{2} - 3

= \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

以下で両辺を乗じる:

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

以下で両辺を乗じる:

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

簡素化

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

簡素化

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) : 3 x - 1

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 3 x - 1 ) ( x ^{2} - 3 )}{x ^{2} - 3}

共通因数を約分する:

x^{2} - 3

= 3 x - 1

簡素化

1 \cdot (x^{2} - 3) : x^{2} - 3

1 \cdot (x^{2} - 3)

乗算:

1 \cdot (x^{2} - 3) = (x^{2} - 3)

= (x^{2} - 3)

括弧を削除する:

(a) = a

= x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

解く

3 x - 1 = x^{2} - 3 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

3 x - 1 = x^{2} - 3

辺を交換する

x^{2} - 3 = 3 x - 1

1

を左側に移動します

x^{2} - 3 = 3 x - 1

両辺に

1

を足す

x^{2} - 3 + 1 = 3 x - 1 + 1

簡素化

x^{2} - 2 = 3 x

x^{2} - 2 = 3 x

3 x

を左側に移動します

x^{2} - 2 = 3 x

両辺から

3 x

を引く

x^{2} - 2 - 3 x = 3 x - 3 x

簡素化

x^{2} - 2 - 3 x = 0

x^{2} - 2 - 3 x = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} - 3 x - 2 = 0

解くとthe二次式

x^{2} - 3 x - 2 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 1, b = - 3, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 17

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

数を乗じる:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

数を足す:

9 + 8 = 17

= 17

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 \cdot 1}

解を分離する

x_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{3 + 17}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 17}{2}

x = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{3 - 17}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 17}{2}

二次equationの解:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

解を検算する

未定義の (特異) 点を求める:

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

の分母をゼロに比較する

解く

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0 : x = 3, x = - 3

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0

簡素化

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} : - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= - \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

以下で両辺を乗じる:

(x - 1) (x + 1)

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

以下で両辺を乗じる:

(x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

簡素化

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

簡素化

1 \cdot (x - 1) (x + 1) : (x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1)

乗算:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= (x - 1) (x + 1)

簡素化

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) : - 2

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

共通因数を約分する:

x - 1

= - \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

共通因数を約分する:

x + 1

= - 2

簡素化

0 \cdot (x - 1) (x + 1) : 0

0 \cdot (x - 1) (x + 1)

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

解く

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0 : x = 3, x = - 3

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

拡張

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

拡張

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

2乗の差の公式を適用する:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

数を引く:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

x^{2} - 3 = 0

解くとthe二次式

x^{2} - 3 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 1, b = 0, c = - 3

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 23

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

規則を適用

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

規則を適用

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 3

数を乗じる:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 0 + 12

数を足す:

0 + 12 = 12

= 12

以下の素因数分解:

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12212 = 6 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 6

626 = 3 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

解を分離する

x_{1} = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 + 23 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 3}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= 3

x = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 - 23 = - 23

= \frac{- 2 3}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 3}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= - 3

二次equationの解:

x = 3, x = - 3

x = 3, x = - 3

解を検算する

未定義の (特異) 点を求める:

x = 1, x = - 1

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

の分母をゼロに比較する

解く

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

1

を右側に移動します

x - 1 = 0

両辺に

1

を足す

x - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

x = 1

x = 1

解く

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

1

を右側に移動します

x + 1 = 0

両辺から

1

を引く

x + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

x = - 1

x = - 1

以下の点は定義されていない

x = 1, x = - 1

未定義のポイントを解に組み合わせる:

x = 3, x = - 3

解く

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

1

を右側に移動します

x - 1 = 0

両辺に

1

を足す

x - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

x = 1

x = 1

解く

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

1

を右側に移動します

x + 1 = 0

両辺から

1

を引く

x + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

x = - 1

x = - 1

以下の点は定義されていない

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

未定義のポイントを解に組み合わせる:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

元のequationに当てはめて解を検算する

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

\frac{3 + 17}{2} :

真

\frac{3 + 17}{2}

挿入

n = 1

\frac{3 + 17}{2}

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

の挿入向け

x = \frac{3 + 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 + 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 + 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

改良

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{3 - 17}{2} :

真

\frac{3 - 17}{2}

挿入

n = 1

\frac{3 - 17}{2}

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

の挿入向け

x = \frac{3 - 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 - 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 - 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

改良

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow 真

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

グラフ

人気の例

cot(3x)=-tan(-(2pi)/5)

cot (3 x) = - tan (- \frac{2 π}{5})

cos (x) = \frac{60}{61}

cot (x) = 2

cos(θ)cot(θ)=-cos(θ)

cos (θ) cot (θ) = - cos (θ)

tan(x/2)=-1/(sqrt(3))

tan (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{3}