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Popolare Trigonometria >

arctan(1/(x-1))+arctan(2/(x+1))= pi/4

Soluzione

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Soluzione

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Fasi della soluzione

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1})

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}})

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Risolvi

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Semplificare

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} : \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Unisci

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} : \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

Minimo Comune Multiplo di

x - 1, x + 1 : (x - 1) (x + 1)

x - 1, x + 1

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

x - 1

x + 1

= (x - 1) (x + 1)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

(x - 1) (x + 1)

Per

\frac{1}{x - 1} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

x + 1

\frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Per

\frac{2}{x + 1} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

x - 1

\frac{2}{x + 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

= \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Espandi

x + 1 + 2 (x - 1) : 3 x - 1

x + 1 + 2 (x - 1)

Espandi

2 (x - 1) : 2 x - 2

2 (x - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = x, c = 1

= 2 x - 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 x - 2

= x + 1 + 2 x - 2

Semplifica

x + 1 + 2 x - 2 : 3 x - 1

x + 1 + 2 x - 2

Raggruppa termini simili

= x + 2 x + 1 - 2

Aggiungi elementi simili:

x + 2 x = 3 x

= 3 x + 1 - 2

Aggiungi/Sottrai i numeri:

1 - 2 = - 1

= 3 x - 1

= 3 x - 1

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} )}

Unisci

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Moltiplicare:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Espandi

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Espandi

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Sottrai i numeri:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

= \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{3 x - 1}{\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} ( x - 1 ) ( x + 1 )}

Moltiplicare

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Cancella il fattore comune:

x - 1

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x + 1 )}{x + 1}

Cancella il fattore comune:

x + 1

= x^{2} - 3

= \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Semplificare

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Semplificare

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) : 3 x - 1

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 3 x - 1 ) ( x ^{2} - 3 )}{x ^{2} - 3}

Cancella il fattore comune:

x^{2} - 3

= 3 x - 1

Semplificare

1 \cdot (x^{2} - 3) : x^{2} - 3

1 \cdot (x^{2} - 3)

Moltiplicare:

1 \cdot (x^{2} - 3) = (x^{2} - 3)

= (x^{2} - 3)

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

Risolvi

3 x - 1 = x^{2} - 3 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

3 x - 1 = x^{2} - 3

Scambia i lati

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Spostare

1

a sinistra dell'equazione

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

x^{2} - 3 + 1 = 3 x - 1 + 1

Semplificare

x^{2} - 2 = 3 x

x^{2} - 2 = 3 x

Spostare

3 x

a sinistra dell'equazione

x^{2} - 2 = 3 x

Sottrarre

3 x

da entrambi i lati

x^{2} - 2 - 3 x = 3 x - 3 x

Semplificare

x^{2} - 2 - 3 x = 0

x^{2} - 2 - 3 x = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 3, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 17

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

Aggiungi i numeri:

9 + 8 = 17

= 17

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

x_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{3 + 17}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 17}{2}

x = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{3 - 17}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 17}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0 : x = 3, x = - 3

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0

Semplificare

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} : - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= - \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

(x - 1) (x + 1)

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

(x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Semplificare

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Semplificare

1 \cdot (x - 1) (x + 1) : (x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1)

Moltiplicare:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= (x - 1) (x + 1)

Semplificare

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) : - 2

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Cancella il fattore comune:

x - 1

= - \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

Cancella il fattore comune:

x + 1

= - 2

Semplificare

0 \cdot (x - 1) (x + 1) : 0

0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Risolvi

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0 : x = 3, x = - 3

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Espandere

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Espandi

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Sottrai i numeri:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

x^{2} - 3 = 0

Risolvi con la formula quadratica

x^{2} - 3 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = 0, c = - 3

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 23

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Applicare la regola

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 0 + 12

Aggiungi i numeri:

0 + 12 = 12

= 12

Fattorizzazione prima di

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

x_{1} = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 + 23 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 3}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= 3

x = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 - 23 = - 23

= \frac{- 2 3}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 3}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= - 3

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

x = 3, x = - 3

x = 3, x = - 3

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

x = 1, x = - 1

Prendere il denominatore (i) dell'

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

e confrontare con zero

Risolvi

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

x - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

x - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

x = 1

x = 1

Risolvi

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

x + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

x + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

x = - 1

x = - 1

I seguenti punti sono non definiti

x = 1, x = - 1

Combinare punti non definiti con soluzioni:

x = 3, x = - 3

Risolvi

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

x - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

x - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

x = 1

x = 1

Risolvi

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

x + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

x + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

x = - 1

x = - 1

I seguenti punti sono non definiti

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Combinare punti non definiti con soluzioni:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{3 + 17}{2} :

Vero

\frac{3 + 17}{2}

Inserire in

n = 1

\frac{3 + 17}{2}

Per

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

inserisci la

x = \frac{3 + 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 + 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 + 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Affinare

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{3 - 17}{2} :

Vero

\frac{3 - 17}{2}

Inserire in

n = 1

\frac{3 - 17}{2}

Per

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

inserisci la

x = \frac{3 - 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 - 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 - 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Affinare

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Grafico

Esempi popolari

cot(3x)=-tan(-(2pi)/5)

cot (3 x) = - tan (- \frac{2 π}{5})

cos(x)= 60/61

cos (x) = \frac{60}{61}

cot(x)=sqrt(2)

cot (x) = 2

cos(θ)cot(θ)=-cos(θ)

cos (θ) cot (θ) = - cos (θ)

tan(x/2)=-1/(sqrt(3))

tan (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{3}