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4sin^2(θ)+2cos^2(θ)=3

Solución

4 sin^{2} (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 3

Solución

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin^{2} (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 3

Restar

3

de ambos lados

4 sin^{2} (θ) + 2 cos^{2} (θ) - 3 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 3 + 2 cos^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 3 + 2 (1 - sin^{2} (θ)) + 4 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 3 + 2 (1 - sin^{2} (θ)) + 4 sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 1

- 3 + 2 (1 - sin^{2} (θ)) + 4 sin^{2} (θ)

Expandir

2 (1 - sin^{2} (θ)) : 2 - 2 sin^{2} (θ)

2 (1 - sin^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (θ)

= - 3 + 2 - 2 sin^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 3 + 2 - 2 sin^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 1

- 3 + 2 - 2 sin^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ)

Sumar elementos similares:

- 2 sin^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 2 sin^{2} (θ)

= - 3 + 2 + 2 sin^{2} (θ)

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 2 = - 1

= 2 sin^{2} (θ) - 1

= 2 sin^{2} (θ) - 1

= 2 sin^{2} (θ) - 1

- 1 + 2 sin^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + 2 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 1 + 2 u^{2} = 0

- 1 + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

- 1 + 2 u^{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

- 1 + 2 u^{2} = 0

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + 2 u^{2} + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u^{2} = 1

2 u^{2} = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u^{2} = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Ejemplos populares

ω=360lb*5sec(x)

ω = 360 l b \cdot 5 sec (x)

solvefor u,x=2cos(u)cos(v)resolver para

u, x = 2 cos (u) cos (v)

cos(θ)=cos(3θ)

cos (θ) = cos (3 θ)

sec(x+pi/4)=-sqrt(2)

sec (x + \frac{π}{4}) = - 2

cot(3θ)=sqrt(3)

cot (3 θ) = 3