解答
tan(θ+20∘)tan(90∘−3θ)=1
解答
θ=−180∘n+10∘,θ=−80∘−180∘n
+1
弧度
θ=18π−πn,θ=−94π−πn求解步骤
tan(θ+20∘)tan(90∘−3θ)=1
使用三角恒等式改写
tan(θ+20∘)tan(90∘−3θ)=1
使用三角恒等式改写
tan(90∘−3θ)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)=cos(90∘−3θ)sin(90∘−3θ)
使用角差恒等式: sin(s−t)=sin(s)cos(t)−cos(s)sin(t)=cos(90∘−3θ)sin(90∘)cos(3θ)−cos(90∘)sin(3θ)
使用角差恒等式: cos(s−t)=cos(s)cos(t)+sin(s)sin(t)=cos(90∘)cos(3θ)+sin(90∘)sin(3θ)sin(90∘)cos(3θ)−cos(90∘)sin(3θ)
化简 cos(90∘)cos(3θ)+sin(90∘)sin(3θ)sin(90∘)cos(3θ)−cos(90∘)sin(3θ):sin(3θ)cos(3θ)
cos(90∘)cos(3θ)+sin(90∘)sin(3θ)sin(90∘)cos(3θ)−cos(90∘)sin(3θ)
sin(90∘)cos(3θ)−cos(90∘)sin(3θ)=cos(3θ)
sin(90∘)cos(3θ)−cos(90∘)sin(3θ)
sin(90∘)cos(3θ)=cos(3θ)
sin(90∘)cos(3θ)
化简 sin(90∘):1
sin(90∘)
使用以下普通恒等式:sin(90∘)=1
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
=1=1⋅cos(3θ)
乘以:1⋅cos(3θ)=cos(3θ)=cos(3θ)
cos(90∘)sin(3θ)=0
cos(90∘)sin(3θ)
化简 cos(90∘):0
cos(90∘)
使用以下普通恒等式:cos(90∘)=0
cos(x) 周期表（周期为 360∘n）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘cos(x)12322210−21−22−23x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘cos(x)−1−23−22−210212223
=0=0⋅sin(3θ)
使用法则 0⋅a=0=0
=cos(3θ)−0
cos(3θ)−0=cos(3θ)=cos(3θ)
=cos(90∘)cos(3θ)+sin(90∘)sin(3θ)cos(3θ)
cos(90∘)cos(3θ)+sin(90∘)sin(3θ)=sin(3θ)
cos(90∘)cos(3θ)+sin(90∘)sin(3θ)
cos(90∘)cos(3θ)=0
cos(90∘)cos(3θ)
化简 cos(90∘):0
cos(90∘)
使用以下普通恒等式:cos(90∘)=0
cos(x) 周期表（周期为 360∘n）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘cos(x)12322210−21−22−23x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘cos(x)−1−23−22−210212223
=0=0⋅cos(3θ)
使用法则 0⋅a=0=0
sin(90∘)sin(3θ)=sin(3θ)
sin(90∘)sin(3θ)
化简 sin(90∘):1
sin(90∘)
使用以下普通恒等式:sin(90∘)=1
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
=1=1⋅sin(3θ)
乘以:1⋅sin(3θ)=sin(3θ)=sin(3θ)
=0+sin(3θ)
0+sin(3θ)=sin(3θ)=sin(3θ)
=sin(3θ)cos(3θ)
=sin(3θ)cos(3θ)
tan(θ+20∘)sin(3θ)cos(3θ)=1
化简 tan(θ+20∘)sin(3θ)cos(3θ):sin(3θ)cos(3θ)tan(θ+20∘)
tan(θ+20∘)sin(3θ)cos(3θ)
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=sin(3θ)cos(3θ)tan(θ+20∘)
sin(3θ)cos(3θ)tan(θ+20∘)=1
sin(3θ)cos(3θ)tan(θ+20∘)=1
两边减去 1sin(3θ)cos(3θ)tan(θ+20∘)−1=0
化简 sin(3θ)cos(3θ)tan(θ+20∘)−1:sin(3θ)cos(3θ)tan(99θ+180∘)−sin(3θ)
sin(3θ)cos(3θ)tan(θ+20∘)−1
化简 θ+20∘:99θ+180∘
θ+20∘
将项转换为分式: θ=9θ9=9θ⋅9+20∘
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=9θ⋅9+180∘
=sin(3θ)cos(3θ)tan(99θ+180∘)−1
将项转换为分式: 1=sin(3θ)1sin(3θ)=sin(3θ)cos(3θ)tan(9θ⋅9+180∘)−sin(3θ)1⋅sin(3θ)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=sin(3θ)cos(3θ)tan(9θ⋅9+180∘)−1⋅sin(3θ)
乘以:1⋅sin(3θ)=sin(3θ)=sin(3θ)cos(3θ)tan(99θ+180∘)−sin(3θ)
sin(3θ)cos(3θ)tan(99θ+180∘)−sin(3θ)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0cos(3θ)tan(99θ+180∘)−sin(3θ)=0
用 sin, cos 表示
−sin(3θ)+cos(3θ)tan(9180∘+9θ)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)=−sin(3θ)+cos(3θ)cos(9180∘+9θ)sin(9180∘+9θ)
化简 −sin(3θ)+cos(3θ)cos(9180∘+9θ)sin(9180∘+9θ):cos(9180∘+9θ)−sin(3θ)cos(9180∘+9θ)+sin(9180∘+9θ)cos(3θ)
−sin(3θ)+cos(3θ)cos(9180∘+9θ)sin(9180∘+9θ)
乘 cos(3θ)cos(9180∘+9θ)sin(9180∘+9θ):cos(9180∘+9θ)sin(99θ+180∘)cos(3θ)
cos(3θ)cos(9180∘+9θ)sin(9180∘+9θ)
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=cos(9180∘+9θ)sin(9180∘+9θ)cos(3θ)
=−sin(3θ)+cos(99θ+180∘)sin(99θ+180∘)cos(3θ)
将项转换为分式: sin(3θ)=cos(9180∘+9θ)sin(3θ)cos(9180∘+9θ)=−cos(9180∘+9θ)sin(3θ)cos(9180∘+9θ)+cos(9180∘+9θ)sin(9180∘+9θ)cos(3θ)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=cos(9180∘+9θ)−sin(3θ)cos(9180∘+9θ)+sin(9180∘+9θ)cos(3θ)
=cos(9180∘+9θ)−sin(3θ)cos(9180∘+9θ)+sin(9180∘+9θ)cos(3θ)
cos(9180∘+9θ)cos(3θ)sin(9180∘+9θ)−cos(9180∘+9θ)sin(3θ)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0cos(3θ)sin(9180∘+9θ)−cos(9180∘+9θ)sin(3θ)=0
使用三角恒等式改写
cos(3θ)sin(9180∘+9θ)−cos(9180∘+9θ)sin(3θ)
使用角差恒等式: sin(s)cos(t)−cos(s)sin(t)=sin(s−t)=sin(9180∘+9θ−3θ)
sin(9180∘+9θ−3θ)=0
sin(9180∘+9θ−3θ)=0的通解
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
9180∘+9θ−3θ=0+360∘n,9180∘+9θ−3θ=180∘+360∘n
9180∘+9θ−3θ=0+360∘n,9180∘+9θ−3θ=180∘+360∘n
解 9180∘+9θ−3θ=0+360∘n:θ=−180∘n+10∘
9180∘+9θ−3θ=0+360∘n
0+360∘n=360∘n9180∘+9θ−3θ=360∘n
在两边乘以 9
9180∘+9θ−3θ=360∘n
在两边乘以 99180∘+9θ⋅9−3θ⋅9=360∘n⋅9
化简
9180∘+9θ⋅9−3θ⋅9=360∘n⋅9
化简 9180∘+9θ⋅9:180∘+9θ
9180∘+9θ⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=9(180∘+9θ)⋅9
约分:9=180∘+9θ
化简 −3θ⋅9:−27θ
−3θ⋅9
数字相乘:3⋅9=27=−27θ
化简 360∘n⋅9:3240∘n
360∘n⋅9
数字相乘:2⋅9=18=3240∘n
180∘+9θ−27θ=3240∘n
180∘−18θ=3240∘n
180∘−18θ=3240∘n
180∘−18θ=3240∘n
将 180∘到右边
180∘−18θ=3240∘n
两边减去 180∘180∘−18θ−180∘=3240∘n−180∘
化简−18θ=3240∘n−180∘
−18θ=3240∘n−180∘
两边除以 −18
−18θ=3240∘n−180∘
两边除以 −18−18−18θ=−183240∘n−−18180∘
化简
−18−18θ=−183240∘n−−18180∘
化简 −18−18θ:θ
−18−18θ
使用分式法则: −b−a=ba=1818θ
数字相除:1818=1=θ
化简 −183240∘n−−18180∘:−180∘n+10∘
−183240∘n−−18180∘
−183240∘n=−180∘n
−183240∘n
使用分式法则: −ba=−ba=−183240∘n
数字相除:1818=1=−180∘n
=−180∘n−−18180∘
使用分式法则: −ba=−ba=−180∘n−(−10∘)
使用法则 −(−a)=a=−180∘n+10∘
θ=−180∘n+10∘
θ=−180∘n+10∘
θ=−180∘n+10∘
解 9180∘+9θ−3θ=180∘+360∘n:θ=−80∘−180∘n
9180∘+9θ−3θ=180∘+360∘n
在两边乘以 9
9180∘+9θ−3θ=180∘+360∘n
在两边乘以 99180∘+9θ⋅9−3θ⋅9=180∘9+360∘n⋅9
化简
9180∘+9θ⋅9−3θ⋅9=180∘9+360∘n⋅9
化简 9180∘+9θ⋅9:180∘+9θ
9180∘+9θ⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=9(180∘+9θ)⋅9
约分:9=180∘+9θ
化简 −3θ⋅9:−27θ
−3θ⋅9
数字相乘:3⋅9=27=−27θ
化简 180∘9:1620∘
180∘9
使用交换律:180∘9=1620∘1620∘
化简 360∘n⋅9:3240∘n
360∘n⋅9
数字相乘:2⋅9=18=3240∘n
180∘+9θ−27θ=1620∘+3240∘n
180∘−18θ=1620∘+3240∘n
180∘−18θ=1620∘+3240∘n
180∘−18θ=1620∘+3240∘n
将 180∘到右边
180∘−18θ=1620∘+3240∘n
两边减去 180∘180∘−18θ−180∘=1620∘+3240∘n−180∘
化简−18θ=1440∘+3240∘n
−18θ=1440∘+3240∘n
两边除以 −18
−18θ=1440∘+3240∘n
两边除以 −18−18−18θ=−181440∘+−183240∘n
化简
−18−18θ=−181440∘+−183240∘n
化简 −18−18θ:θ
−18−18θ
使用分式法则: −b−a=ba=1818θ
数字相除:1818=1=θ
化简 −181440∘+−183240∘n:−80∘−180∘n
−181440∘+−183240∘n
−181440∘=−80∘
−181440∘
使用分式法则: −ba=−ba=−80∘
约分:2=−80∘
=−80∘+−183240∘n
−183240∘n=−180∘n
−183240∘n
使用分式法则: −ba=−ba=−183240∘n
数字相除:1818=1=−180∘n
=−80∘−180∘n
θ=−80∘−180∘n
θ=−80∘−180∘n
θ=−80∘−180∘n
θ=−180∘n+10∘,θ=−80∘−180∘n