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Popular >

1-2sin(θ)=cos(θ)

Solución

1 - 2 sin (θ) = cos (θ)

Solución

θ = π - 0.92729 \dots + 2 πn, θ = 2 πn

Grados

θ = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

1 - 2 sin (θ) = cos (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(1 - 2 sin (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

Restar

cos^{2} (θ)

de ambos lados

(1 - 2 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(1 - 2 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

Simplificar

(1 - 2 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ)) : 5 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ)

(1 - 2 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

(1 - 2 sin (θ))^{2} : 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = 2 sin (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin (θ) + (2 sin (θ))^{2}

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin (θ) + (2 sin (θ))^{2} : 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin (θ) + (2 sin (θ))^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin (θ) + (2 sin (θ))^{2}

2 \cdot 1 \cdot 2 sin (θ) = 4 sin (θ)

2 \cdot 1 \cdot 2 sin (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 \cdot 2 = 4

= 4 sin (θ)

(2 sin (θ))^{2} = 4 sin^{2} (θ)

(2 sin (θ))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (θ)

2^{2} = 4

= 4 sin^{2} (θ)

= 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ)

= 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ)

= 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) - (1 - sin^{2} (θ))

- (1 - sin^{2} (θ)) : - 1 + sin^{2} (θ)

- (1 - sin^{2} (θ))

Poner los parentesis

= - (1) - (- sin^{2} (θ))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (θ)

= 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Simplificar

1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : 5 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ)

1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) + 1 - 1

Sumar elementos similares:

4 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 5 sin^{2} (θ)

= - 4 sin (θ) + 5 sin^{2} (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 5 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ)

= 5 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ)

= 5 sin^{2} (θ) - 4 sin (θ)

- 4 sin (θ) + 5 sin^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 4 sin (θ) + 5 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 4 u + 5 u^{2} = 0

- 4 u + 5 u^{2} = 0 : u = \frac{4}{5}, u = 0

- 4 u + 5 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 4 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

5 u^{2} - 4 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 5, b = - 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0}{2 \cdot 5}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0 = 4

(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 4^{2} - 0

4^{2} - 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4}{2 \cdot 5}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 \cdot 5} : \frac{4}{5}

\frac{- ( - 4 ) + 4}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 + 4}{2 \cdot 5}

Sumar:

4 + 4 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{8}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{4}{5}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 \cdot 5} : 0

\frac{- ( - 4 ) - 4}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 - 4}{2 \cdot 5}

Restar:

4 - 4 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{10}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{4}{5}, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{4}{5}, sin (θ) = 0

sin (θ) = \frac{4}{5}, sin (θ) = 0

sin (θ) = \frac{4}{5} : θ = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{4}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{4}{5}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{4}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluciones generales para

sin (θ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

1 - 2 sin (θ) = cos (θ)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

1 - 2 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

1 - 2 sin (arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.6 = 0.6

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Verdadero

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

1 - 2 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

1 - 2 sin (π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.6 = - 0.6

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 πn :

Verdadero

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

1 - 2 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = 2 π 1

1 - 2 sin (2 π 1) = cos (2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + 2 π 1

Multiplicar

1 - 2 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = π + 2 π 1

1 - 2 sin (π + 2 π 1) = cos (π + 2 π 1)

Simplificar

1 = - 1

\Rightarrow Falso

θ = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = π - 0.92729 \dots + 2 πn, θ = 2 πn

Ejemplos populares

6tan^2(x)-tan(x)-12=0

6 tan^{2} (x) - tan (x) - 12 = 0

sin(θ)=0.364

sin (θ) = 0.364

2=-4-3csc(x)

2 = - 4 - 3 csc (x)

cot(θ)=-sqrt(3),cos(2θ)

cot (θ) = - 3, cos (2 θ)

1-4cos^2(x)=0

1 - 4 cos^{2} (x) = 0