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[sin(x)+1/2 ]^2= 1/2 sin(x)+13/16

Solución

[sin (x) + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} sin (x) + \frac{13}{16}

Solución

x = 0.57111 \dots + 2 πn, x = π - 0.57111 \dots + 2 πn

Grados

x = 32.72240 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 147.27759 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

[sin (x) + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} sin (x) + \frac{13}{16}

Usando el método de sustitución

[sin (x) + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} sin (x) + \frac{13}{16}

Sea:

sin (x) = u

[u + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} u + \frac{13}{16}

[u + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} u + \frac{13}{16} : u = \frac{- 1 + 10}{4}, u = - \frac{1 + 10}{4}

[u + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} u + \frac{13}{16}

Encontrar el mínimo común múltiplo de

2, 16 : 16

2, 16

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

16

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

16

[u + \frac{1}{2}]^{2} \cdot 16 = \frac{1}{2} u \cdot 16 + \frac{13}{16} \cdot 16

Simplificar

16 (u + \frac{1}{2})^{2} = 8 u + 13

Desarrollar

16 (u + \frac{1}{2})^{2} : 16 u^{2} + 16 u + 4

16 (u + \frac{1}{2})^{2}

(u + \frac{1}{2})^{2} = u^{2} + u + \frac{1}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = \frac{1}{2}

= u^{2} + 2 u \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}

Simplificar

u^{2} + 2 u \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} : u^{2} + u + \frac{1}{4}

u^{2} + 2 u \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}

2 u \frac{1}{2} = u

2 u \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} u

Eliminar los terminos comunes:

2

= u \cdot 1

Multiplicar:

u \cdot 1 = u

= u

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(\frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= u^{2} + u + \frac{1}{4}

= u^{2} + u + \frac{1}{4}

= 16 (u^{2} + u + \frac{1}{4})

Aplicar la siguiente regla de productos notables

= 16 u^{2} + 16 u + 16 \cdot \frac{1}{4}

16 \cdot \frac{1}{4} = 4

16 \cdot \frac{1}{4}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{4}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{4}

Dividir:

\frac{16}{4} = 4

= 4

= 16 u^{2} + 16 u + 4

16 u^{2} + 16 u + 4 = 8 u + 13

Mover

13

al lado izquierdo

16 u^{2} + 16 u + 4 = 8 u + 13

Restar

13

de ambos lados

16 u^{2} + 16 u + 4 - 13 = 8 u + 13 - 13

Simplificar

16 u^{2} + 16 u - 9 = 8 u

16 u^{2} + 16 u - 9 = 8 u

Mover

8 u

al lado izquierdo

16 u^{2} + 16 u - 9 = 8 u

Restar

8 u

de ambos lados

16 u^{2} + 16 u - 9 - 8 u = 8 u - 8 u

Simplificar

16 u^{2} + 8 u - 9 = 0

16 u^{2} + 8 u - 9 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

16 u^{2} + 8 u - 9 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 16, b = 8, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 16 ( - 9 )}{2 \cdot 16}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 16 ( - 9 )}{2 \cdot 16}

8^{2} - 4 \cdot 16 (- 9) = 810

8^{2} - 4 \cdot 16 (- 9)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 9

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 16 \cdot 9 = 576

= 8^{2} + 576

8^{2} = 64

= 64 + 576

Sumar:

64 + 576 = 640

= 640

Descomposición en factores primos de

640 : 2^{7} \cdot 5

640

640

divida por

2640 = 320 \cdot 2

= 2 \cdot 320

320

divida por

2320 = 160 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 160

160

divida por

2160 = 80 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 80

80

divida por

280 = 40 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 40

40

divida por

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20

divida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{7} \cdot 5

= 2^{7} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 2 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{6} 2 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 2 \cdot 5

Simplificar

= 810

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 10}{2 \cdot 16}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 8 + 8 10}{2 \cdot 16}, u_{2} = \frac{- 8 - 8 10}{2 \cdot 16}

u = \frac{- 8 + 8 10}{2 \cdot 16} : \frac{- 1 + 10}{4}

\frac{- 8 + 8 10}{2 \cdot 16}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8 + 8 10}{32}

Factorizar

- 8 + 810 : 8 (- 1 + 10)

- 8 + 810

Reescribir como

= - 8 \cdot 1 + 810

Factorizar el termino común

8

= 8 (- 1 + 10)

= \frac{8 ( - 1 + 10 )}{32}

Eliminar los terminos comunes:

8

= \frac{- 1 + 10}{4}

u = \frac{- 8 - 8 10}{2 \cdot 16} : - \frac{1 + 10}{4}

\frac{- 8 - 8 10}{2 \cdot 16}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8 - 8 10}{32}

Factorizar

- 8 - 810 : - 8 (1 + 10)

- 8 - 810

Reescribir como

= - 8 \cdot 1 - 810

Factorizar el termino común

8

= - 8 (1 + 10)

= - \frac{8 ( 1 + 10 )}{32}

Eliminar los terminos comunes:

8

= - \frac{1 + 10}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 10}{4}, u = - \frac{1 + 10}{4}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 10}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 10}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 10}{4} :

Sin solución

sin (x) = - \frac{1 + 10}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.57111 \dots + 2 πn, x = π - 0.57111 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

-csc(x)+2csc^3(x)=0

- csc (x) + 2 csc^{3} (x) = 0

sin(θ)= 500/680

sin (θ) = \frac{500}{680}

sin(3x)+cos(2x)=0

sin (3 x) + cos (2 x) = 0

cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)log_{10}(-1)

cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 2 cos^{2} (a) lo g_{10} (- 1)

tan(x)=-(sqrt(3))/2

tan (x) = - \frac{3}{2}