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5sin(x)-12cos(x)=13

Solution

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Solution

x = 2.74680 \dots + 2 πn

Degrés

x = 157.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Ajouter

12 cos (x)

aux deux côtés

5 sin (x) = 13 + 12 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(5 sin (x))^{2} = (13 + 12 cos (x))^{2}

Soustraire

(13 + 12 cos (x))^{2}

des deux côtés

25 sin^{2} (x) - 169 - 312 cos (x) - 144 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) - 312 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x)

Simplifier

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x) : - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x)

Développer

25 (1 - cos^{2} (x)) : 25 - 25 cos^{2} (x)

25 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x)

Simplifier

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x) : - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x)

Grouper comme termes

= - 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 169 + 25

Additionner les éléments similaires :

- 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 169 cos^{2} (x)

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 169 + 25

Additionner/Soustraire les nombres :

- 169 + 25 = - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 144 - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

- 144 - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0 : u = - \frac{12}{13}

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 169 u^{2} - 312 u - 144 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 169 u^{2} - 312 u - 144 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 169, b = - 312, c = - 144

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm ( - 312 ) ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm ( - 312 ) ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

(- 312)^{2} - 4 (- 169) (- 144) = 0

(- 312)^{2} - 4 (- 169) (- 144)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 312)^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 312)^{2} = 31 2^{2}

= 31 2^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

Multiplier les nombres :

4 \cdot 169 \cdot 144 = 97344

= 31 2^{2} - 97344

31 2^{2} = 97344

= 97344 - 97344

Soustraire les nombres :

97344 - 97344 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm 0}{2 ( - 169 )}

u = \frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )}

\frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )} = - \frac{12}{13}

\frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{312}{- 2 \cdot 169}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 169 = 338

= \frac{312}{- 338}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{312}{338}

Annuler le facteur commun :

26

= - \frac{12}{13}

u = - \frac{12}{13}

La solution de l'équation de forme quadratique est :

u = - \frac{12}{13}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - \frac{12}{13} : x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{12}{13}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{12}{13}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

vrai

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Pour

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

insérer

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 12 cos (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Redéfinir

13 = 13

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Faux

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Pour

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

insérer

x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 12 cos (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Redéfinir

9.15384 \dots = 13

\Rightarrow Faux

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 2.74680 \dots + 2 πn

Exemples populaires

sec(x)=1.562641

sec (x) = 1.562641

cos(a)=-1/(sqrt(2))

cos (a) = - \frac{1}{2}

-4cos(2x)+4sin(x)=0

- 4 cos (2 x) + 4 sin (x) = 0

6sin(θ)=1

6 sin (θ) = 1

-5sin(y)=0

- 5 sin (y) = 0