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人気のある三角関数 >

3sin(x)+5cos(x)=4

解

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

解

x = 1.35524 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.27440 \dots + 2 πn

+1

度

x = 77.64989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 344.27761 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

両辺から

5 cos (x)

を引く

3 sin (x) = 4 - 5 cos (x)

両辺を2乗する

(3 sin (x))^{2} = (4 - 5 cos (x))^{2}

両辺から

(4 - 5 cos (x))^{2}

を引く

9 sin^{2} (x) - 16 + 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

拡張

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

数を乗じる:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 16 + 9

類似した元を足す:

- 25 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 34 cos^{2} (x)

= - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 16 + 9

数を足す/引く:

- 16 + 9 = - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 7 - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

置換で解く

- 7 - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{20 - 9 2}{34}, u = \frac{20 + 9 2}{34}

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 34 u^{2} + 40 u - 7 = 0

解くとthe二次式

- 34 u^{2} + 40 u - 7 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 34, b = 40, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 34 ) ( - 7 )}{2 ( - 34 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 34 ) ( - 7 )}{2 ( - 34 )}

4 0^{2} - 4 (- 34) (- 7) = 182

4 0^{2} - 4 (- 34) (- 7)

規則を適用

- (- a) = a

= 4 0^{2} - 4 \cdot 34 \cdot 7

数を乗じる:

4 \cdot 34 \cdot 7 = 952

= 4 0^{2} - 952

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 952

数を引く:

1600 - 952 = 648

= 648

以下の素因数分解:

648 : 2^{3} \cdot 3^{4}

648

6482648 = 324 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 324

3242324 = 162 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 162

1622162 = 81 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81

81381 = 27 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 27

27327 = 9 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

939 = 3 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{4}

= 3^{4} \cdot 2^{3}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 2

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2 2^{2} 3^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22 3^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 22

改良

= 182

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 18 2}{2 ( - 34 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )}

u = \frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )} : \frac{20 - 9 2}{34}

\frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 40 + 18 2}{- 2 \cdot 34}

数を乗じる:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 40 + 18 2}{- 68}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 + 182 = - (40 - 182)

= \frac{40 - 18 2}{68}

因数

40 - 182 : 2 (20 - 92)

40 - 182

書き換え

= 2 \cdot 20 - 2 \cdot 92

共通項をくくり出す

2

= 2 (20 - 92)

= \frac{2 ( 20 - 9 2 )}{68}

共通因数を約分する:

2

= \frac{20 - 9 2}{34}

u = \frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )} : \frac{20 + 9 2}{34}

\frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 40 - 18 2}{- 2 \cdot 34}

数を乗じる:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 40 - 18 2}{- 68}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 - 182 = - (40 + 182)

= \frac{40 + 18 2}{68}

因数

40 + 182 : 2 (20 + 92)

40 + 182

書き換え

= 2 \cdot 20 + 2 \cdot 92

共通項をくくり出す

2

= 2 (20 + 92)

= \frac{2 ( 20 + 9 2 )}{68}

共通因数を約分する:

2

= \frac{20 + 9 2}{34}

二次equationの解:

u = \frac{20 - 9 2}{34}, u = \frac{20 + 9 2}{34}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}, cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}, cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34} : x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

以下の一般解

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34} : x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

以下の一般解

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

改良

- 1.86115 \dots = 4

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn :

偽

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

改良

5.62585 \dots = 4

\Rightarrow 偽

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn :

真

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 1.35524 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.27440 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

3+2cos(x)=4cos(x/2)

3 + 2 cos (x) = 4 cos (\frac{x}{2})

-sqrt(3)sin(x)=cos(x)

- 3 sin (x) = cos (x)

2csc^2(x)=5-5cot(x)

2 csc^{2} (x) = 5 - 5 cot (x)

2sin^2(x)=3sin(x)

2 sin^{2} (x) = 3 sin (x)

5 + 2 sin (x) - 7 = 0