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Popular >

sqrt(3)sin(x)-3cos(x)=sqrt(6)

Solución

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

Solución

x = - 2.87979 \dots + 2 πn, x = 1.83259 \dots + 2 πn

Grados

x = - 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

Sumar

3 cos (x)

a ambos lados

3 sin (x) = 6 + 3 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(3 sin (x))^{2} = (6 + 3 cos (x))^{2}

Restar

(6 + 3 cos (x))^{2}

de ambos lados

3 sin^{2} (x) - 6 - 66 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 6 + 3 sin^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Simplificar

- 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 : - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

= - 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 66 cos (x)

Expandir

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= - 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Simplificar

- 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 : - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Sumar elementos similares:

- 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 12 cos^{2} (x)

= - 6 + 3 - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x)

Sumar/restar lo siguiente:

- 6 + 3 = - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 3 - 12 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 = 0

Usando el método de sustitución

- 3 - 12 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 = 0

Sea:

cos (x) = u

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 12 u^{2} - 66 u - 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 12 u^{2} - 66 u - 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 12, b = - 66, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm ( - 6 6 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 3 )}{2 ( - 12 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm ( - 6 6 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 3 )}{2 ( - 12 )}

(- 66)^{2} - 4 (- 12) (- 3) = 62

(- 66)^{2} - 4 (- 12) (- 3)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 66)^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 3

(- 66)^{2} = 6^{3}

(- 66)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 66)^{2} = (66)^{2}

= (66)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 6^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 6

= 6^{2} \cdot 6

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

6^{2} \cdot 6 = 6^{2 + 1}

= 6^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 6^{3}

4 \cdot 12 \cdot 3 = 144

4 \cdot 12 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 12 \cdot 3 = 144

= 144

= 6^{3} - 144

6^{3} = 216

= 216 - 144

Restar:

216 - 144 = 72

= 72

Descomposición en factores primos de

72 : 2^{3} \cdot 3^{2}

72

72

divida por

272 = 36 \cdot 2

= 2 \cdot 36

36

divida por

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 18

18

divida por

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2} 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32

Simplificar

= 62

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm 6 2}{2 ( - 12 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )}

u = \frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 6 + 6 2}{- 2 \cdot 12}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{6 6 + 6 2}{- 24}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 6 + 6 2}{24}

Cancelar

\frac{6 6 + 6 2}{24} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{6 6 + 6 2}{24}

Factorizar el termino común

6

= \frac{6 ( 6 + 2 )}{24}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 6 - 6 2}{- 2 \cdot 12}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{6 6 - 6 2}{- 24}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 6 - 6 2}{24}

Cancelar

\frac{6 6 - 6 2}{24} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{6 6 - 6 2}{24}

Factorizar el termino común

6

= \frac{6 ( 6 - 2 )}{24}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

por

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Simplificar

3.34606 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Verdadero

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

por

x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Simplificar

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

por

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Simplificar

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

por

x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Simplificar

- 0.89657 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Falso

x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 2.87979 \dots + 2 πn, x = 1.83259 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

tan(θ)= 11/100

tan (θ) = \frac{11}{100}

sin(x)= 4/(sqrt(41))

sin (x) = \frac{4}{41}

2cos(x)-sin^2(x)=0

2 cos (x) - sin^{2} (x) = 0

sin(x)=-1.1

sin (x) = - 1.1

sin(x)=((sqrt(3))/2)

sin (x) = (\frac{3}{2})