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sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+sin^4(x)=0

Solución

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

Solución

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

Usando el método de sustitución

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} = 0

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} = 0 : u = 0, u = - 1, u = i, u = - i

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} = 0

Factorizar

u + u^{2} + u^{3} + u^{4} : u (u + 1) (u^{2} + 1)

u + u^{2} + u^{3} + u^{4}

Factorizar el termino común

u : u (u^{3} + u^{2} + u + 1)

u^{4} + u^{3} + u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= u^{3} u + u^{2} u + uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (u^{3} + u^{2} + u + 1)

= u (u^{3} + u^{2} + u + 1)

Factorizar

u^{3} + u^{2} + u + 1 : (u + 1) (u^{2} + 1)

u^{3} + u^{2} + u + 1

= (u^{3} + u^{2}) + (u + 1)

Factorizar

u^{2}

u^{3} + u^{2}

u^{2} (u + 1)

u^{3} + u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

Factorizar el termino común

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= (u + 1) + u^{2} (u + 1)

Factorizar el termino común

u + 1

= (u + 1) (u^{2} + 1)

= u (u + 1) (u^{2} + 1)

u (u + 1) (u^{2} + 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u^{2} + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Simplificar

- 1 : i

- 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= i

Simplificar

- - 1 : - i

- - 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Las soluciones son

u = 0, u = - 1, u = i, u = - i

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = - 1, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0, sin (x) = - 1, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluciones generales para

sin (x) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = i :

Sin solución

sin (x) = i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = - i :

Sin solución

sin (x) = - i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(9x)-cos(x)=0

sin (9 x) - cos (x) = 0

cos(x)+2cos^2(x)=1

cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

solvefor t,0.08=0.1cos(4t)resolver para

t, 0.08 = 0.1 cos (4 t)

-2/3 =cos(x)

- \frac{2}{3} = cos (x)

solvefor ϕ,(xcos(ϕ))^2=x^2sin^2(ϕ)(1)resolver para

ϕ, (x cos (ϕ))^{2} = x^{2} sin^{2} (ϕ) (1)