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人気のある三角関数 >

tan(θ)-sec(θ)=sqrt(3)

解

tan (θ) - sec (θ) = 3

解

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

+1

度

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

tan (θ) - sec (θ) = 3

両辺から

3

を引く

tan (θ) - sec (θ) - 3 = 0

サイン, コサインで表わす

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3 = 0

簡素化

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3 : \frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3

分数を組み合わせる

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} - 3

元を分数に変換する:

3 = \frac{3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} - \frac{3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (θ) - 1 - 3 cos (θ) = 0

両辺に

3 cos (θ)

を足す

sin (θ) - 1 = 3 cos (θ)

両辺を2乗する

(sin (θ) - 1)^{2} = (3 cos (θ))^{2}

両辺から

(3 cos (θ))^{2}

を引く

(sin (θ) - 1)^{2} - 3 cos^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 cos^{2} (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

簡素化

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ)) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

(- 1 + sin (θ))^{2} : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin (θ)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ)

簡素化

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ) : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ)

括弧を削除する:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin (θ) = 2 sin (θ)

2 \cdot 1 \cdot sin (θ)

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 (1 - sin^{2} (θ))

拡張

- 3 (1 - sin^{2} (θ)) : - 3 + 3 sin^{2} (θ)

- 3 (1 - sin^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (θ)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (θ)

数を乗じる:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

簡素化

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

条件のようなグループ

= - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) + 1 - 3

類似した元を足す:

sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) = 4 sin^{2} (θ)

= - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) + 1 - 3

数を足す/引く:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

置換で解く

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

仮定:

sin (θ) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

解くとthe二次式

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

数を乗じる:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

数を足す:

4 + 32 = 36

= 36

数を因数に分解する:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

数を足す:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

数を引く:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

共通因数を約分する:

4

= - \frac{1}{2}

二次equationの解:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

代用を戻す

u = sin (θ)

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

以下の一般解

sin (θ) = 1

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

以下の一般解

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

tan (θ) - sec (θ) = 3

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

\frac{π}{2} + 2 πn :

偽

\frac{π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

tan (θ) - sec (θ) = 3

の挿入向け

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) - sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3

未定義

\Rightarrow 偽

解答を確認する

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

真

\frac{7 π}{6} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

tan (θ) - sec (θ) = 3

の挿入向け

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = 3

改良

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

偽

\frac{11 π}{6} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

tan (θ) - sec (θ) = 3

の挿入向け

θ = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = 3

改良

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow 偽

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

グラフ

人気の例

cos (t) = \frac{24}{25}

sec^2(t)+2sec(t)=0

sec^{2} (t) + 2 sec (t) = 0

sin(270+x)-cos(180-x)=-sin(x)

sin (27 0^{\circ} + x) - cos (18 0^{\circ} - x) = - sin (x)

9 cos (3 x) = 0

cos((pi(x+5))/3)= 1/2

cos (\frac{π ( x + 5 )}{3}) = \frac{1}{2}