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Beliebt Trigonometrie >

tan(θ)-sec(θ)=sqrt(3)

Lösung

tan (θ) - sec (θ) = 3

Lösung

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (θ) - sec (θ) = 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

tan (θ) - sec (θ) - 3 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3 = 0

Vereinfache

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3 : \frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3

Ziehe Brüche zusammen

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} - 3

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} - \frac{3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (θ) - 1 - 3 cos (θ) = 0

Füge

3 cos (θ)

zu beiden Seiten hinzu

sin (θ) - 1 = 3 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(sin (θ) - 1)^{2} = (3 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(3 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

(sin (θ) - 1)^{2} - 3 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ)) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

(- 1 + sin (θ))^{2} : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin (θ)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Vereinfache

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ) : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin (θ) = 2 sin (θ)

2 \cdot 1 \cdot sin (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 3 (1 - sin^{2} (θ)) : - 3 + 3 sin^{2} (θ)

- 3 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

Vereinfache

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) = 4 sin^{2} (θ)

= - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

tan (θ) - sec (θ) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

tan (θ) - sec (θ) = 3

ein, um zu lösen

tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) - sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Wahr

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

tan (θ) - sec (θ) = 3

ein, um zu lösen

tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Falsch

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

tan (θ) - sec (θ) = 3

ein, um zu lösen

tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falsch

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(t)= 24/25

cos (t) = \frac{24}{25}

sec^2(t)+2sec(t)=0

sec^{2} (t) + 2 sec (t) = 0

sin(270+x)-cos(180-x)=-sin(x)

sin (27 0^{\circ} + x) - cos (18 0^{\circ} - x) = - sin (x)

9cos(3x)=0

9 cos (3 x) = 0

cos((pi(x+5))/3)= 1/2

cos (\frac{π ( x + 5 )}{3}) = \frac{1}{2}