zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的三角函数 >

tan(θ)-sec(θ)=sqrt(3)

解答

tan (θ) - sec (θ) = 3

解答

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

+1

度数

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

tan (θ) - sec (θ) = 3

两边减去

3

tan (θ) - sec (θ) - 3 = 0

用 sin, cos 表示

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3 = 0

化简

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3 : \frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} - 3

合并分式

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} - 3

将项转换为分式:

3 = \frac{3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} - \frac{3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ ) - 1 - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (θ) - 1 - 3 cos (θ) = 0

两边加上

3 cos (θ)

sin (θ) - 1 = 3 cos (θ)

两边进行平方

(sin (θ) - 1)^{2} = (3 cos (θ))^{2}

两边减去

(3 cos (θ))^{2}

(sin (θ) - 1)^{2} - 3 cos^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 cos^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

化简

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ)) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

(- 1 + sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

(- 1 + sin (θ))^{2} : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

使用完全平方公式:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin (θ)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ)

化简

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ) : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (θ) + sin^{2} (θ)

去除括号:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

使用法则

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin (θ) = 2 sin (θ)

2 \cdot 1 \cdot sin (θ)

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 (1 - sin^{2} (θ))

乘开

- 3 (1 - sin^{2} (θ)) : - 3 + 3 sin^{2} (θ)

- 3 (1 - sin^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (θ)

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (θ)

数字相乘:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

化简

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

对同类项分组

= - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) + 1 - 3

同类项相加:

sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) = 4 sin^{2} (θ)

= - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) + 1 - 3

数字相加/相减:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

用替代法求解

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

令

: sin (θ) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

使用求根公式求解

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

使用法则

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

数字相乘:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

数字相加:

4 + 32 = 36

= 36

因式分解数字:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

数字相加:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

数字相减:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

约分:

4

= - \frac{1}{2}

二次方程组的解是:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

u = sin (θ)

代回

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

sin (θ) = 1

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = - \frac{1}{2}

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

合并所有解

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

将解代入原方程进行验证

将它们代入

tan (θ) - sec (θ) = 3

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

检验

\frac{π}{2} + 2 πn

的解:

假

\frac{π}{2} + 2 πn

代入

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

对于

tan (θ) - sec (θ) = 3

代入

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) - sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3

未定义

\Rightarrow 假

检验

\frac{7 π}{6} + 2 πn

的解:

真

\frac{7 π}{6} + 2 πn

代入

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

对于

tan (θ) - sec (θ) = 3

代入

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = 3

整理后得

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow 真

检验

\frac{11 π}{6} + 2 πn

的解:

假

\frac{11 π}{6} + 2 πn

代入

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

对于

tan (θ) - sec (θ) = 3

代入

θ = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) - sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = 3

整理后得

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow 假

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

作图

流行的例子

cos (t) = \frac{24}{25}

sec^2(t)+2sec(t)=0

sec^{2} (t) + 2 sec (t) = 0

sin(270+x)-cos(180-x)=-sin(x)

sin (27 0^{\circ} + x) - cos (18 0^{\circ} - x) = - sin (x)

9 cos (3 x) = 0

cos((pi(x+5))/3)= 1/2

cos (\frac{π ( x + 5 )}{3}) = \frac{1}{2}