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25cos^2(3x)+10cos(3x)=15

Solución

25 cos^{2} (3 x) + 10 cos (3 x) = 15

Solución

x = \frac{0.92729 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} - \frac{0.92729 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Grados

x = 17.71003 \dots^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 102.28996 \dots^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n

Pasos de solución

25 cos^{2} (3 x) + 10 cos (3 x) = 15

Usando el método de sustitución

25 cos^{2} (3 x) + 10 cos (3 x) = 15

Sea:

cos (3 x) = u

25 u^{2} + 10 u = 15

25 u^{2} + 10 u = 15 : u = \frac{3}{5}, u = - 1

25 u^{2} + 10 u = 15

Mover

15

al lado izquierdo

25 u^{2} + 10 u = 15

Restar

15

de ambos lados

25 u^{2} + 10 u - 15 = 15 - 15

Simplificar

25 u^{2} + 10 u - 15 = 0

25 u^{2} + 10 u - 15 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

25 u^{2} + 10 u - 15 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 25, b = 10, c = - 15

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 25 ( - 15 )}{2 \cdot 25}

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 25 ( - 15 )}{2 \cdot 25}

1 0^{2} - 4 \cdot 25 (- 15) = 40

1 0^{2} - 4 \cdot 25 (- 15)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 0^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 15

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 25 \cdot 15 = 1500

= 1 0^{2} + 1500

1 0^{2} = 100

= 100 + 1500

Sumar:

100 + 1500 = 1600

= 1600

Descomponer el número en factores primos:

1600 = 4 0^{2}

= 4 0^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

4 0^{2} = 40

= 40

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 40}{2 \cdot 25}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 10 + 40}{2 \cdot 25}, u_{2} = \frac{- 10 - 40}{2 \cdot 25}

u = \frac{- 10 + 40}{2 \cdot 25} : \frac{3}{5}

\frac{- 10 + 40}{2 \cdot 25}

Sumar/restar lo siguiente:

- 10 + 40 = 30

= \frac{30}{2 \cdot 25}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{30}{50}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{3}{5}

u = \frac{- 10 - 40}{2 \cdot 25} : - 1

\frac{- 10 - 40}{2 \cdot 25}

Restar:

- 10 - 40 = - 50

= \frac{- 50}{2 \cdot 25}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 50}{50}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{50}{50}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{3}{5}, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (3 x)

cos (3 x) = \frac{3}{5}, cos (3 x) = - 1

cos (3 x) = \frac{3}{5}, cos (3 x) = - 1

cos (3 x) = \frac{3}{5} : x = \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} - \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

cos (3 x) = \frac{3}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (3 x) = \frac{3}{5}

Soluciones generales para

cos (3 x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

3 x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, 3 x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

3 x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, 3 x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Resolver

3 x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn : x = \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

3 x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

x = \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

Resolver

3 x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn : x = \frac{2 π}{3} - \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

3 x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3} - \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

x = \frac{2 π}{3} - \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{2 π}{3} - \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} - \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}

cos (3 x) = - 1 : x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

cos (3 x) = - 1

Soluciones generales para

cos (3 x) = - 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

3 x = π + 2 πn

3 x = π + 2 πn

Resolver

3 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

3 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Combinar toda las soluciones

x = \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} - \frac{arccos ( \frac{3}{5} )}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{0.92729 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{2 π}{3} - \frac{0.92729 \dots}{3} + \frac{2 πn}{3}, x = \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3}

Ejemplos populares

5cos^2(x)=6sin(x)

5 cos^{2} (x) = 6 sin (x)

sec^2(x)=2tan(x)+4

sec^{2} (x) = 2 tan (x) + 4

-4cos(θ)=-sin^2(θ)+1

- 4 cos (θ) = - sin^{2} (θ) + 1

2sin^2(θ)+sqrt(3)sin(θ)=0,0<= θ<2pi

2 sin^{2} (θ) + 3 sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

sin(θ)= pi/2

sin (θ) = \frac{π}{2}