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Populaire Trigonométrie >

6=50sin(x)-15cos(x),0<x< pi/2

Solution

6 = 50 sin (x) - 15 cos (x), 0 < x < \frac{π}{2}

Solution

x = 0.40665 \dots

Degrés

x = 23.29935 \dots^{\circ}

étapes des solutions

6 = 50 sin (x) - 15 cos (x), 0 < x < \frac{π}{2}

Ajouter

15 cos (x)

aux deux côtés

50 sin (x) = 6 + 15 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(50 sin (x))^{2} = (6 + 15 cos (x))^{2}

Soustraire

(6 + 15 cos (x))^{2}

des deux côtés

2500 sin^{2} (x) - 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 (1 - cos^{2} (x)) : - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 (1 - cos^{2} (x))

Développer

2500 (1 - cos^{2} (x)) : 2500 - 2500 cos^{2} (x)

2500 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2500, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2500 \cdot 1 - 2500 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2500 \cdot 1 = 2500

= 2500 - 2500 cos^{2} (x)

= - 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 - 2500 cos^{2} (x)

Simplifier

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 - 2500 cos^{2} (x) : - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

- 36 - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) + 2500 - 2500 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= - 180 cos (x) - 225 cos^{2} (x) - 2500 cos^{2} (x) - 36 + 2500

Additionner les éléments similaires :

- 225 cos^{2} (x) - 2500 cos^{2} (x) = - 2725 cos^{2} (x)

= - 180 cos (x) - 2725 cos^{2} (x) - 36 + 2500

Additionner/Soustraire les nombres :

- 36 + 2500 = 2464

= - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

= - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

= - 2725 cos^{2} (x) - 180 cos (x) + 2464

2464 - 180 cos (x) - 2725 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

2464 - 180 cos (x) - 2725 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

2464 - 180 u - 2725 u^{2} = 0

2464 - 180 u - 2725 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, u = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

2464 - 180 u - 2725 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2725 u^{2} - 180 u + 2464 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2725 u^{2} - 180 u + 2464 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2725, b = - 180, c = 2464

u_{1, 2} = \frac{- ( - 180 ) \pm ( - 180 ) ^{2} - 4 ( - 2725 ) \cdot 2464}{2 ( - 2725 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 180 ) \pm ( - 180 ) ^{2} - 4 ( - 2725 ) \cdot 2464}{2 ( - 2725 )}

(- 180)^{2} - 4 (- 2725) \cdot 2464 = 1002689

(- 180)^{2} - 4 (- 2725) \cdot 2464

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 180)^{2} + 4 \cdot 2725 \cdot 2464

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 180)^{2} = 18 0^{2}

= 18 0^{2} + 4 \cdot 2725 \cdot 2464

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2725 \cdot 2464 = 26857600

= 18 0^{2} + 26857600

18 0^{2} = 32400

= 32400 + 26857600

Additionner les nombres :

32400 + 26857600 = 26890000

= 26890000

Factorisation première de

26890000 : 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 2689

26890000

= 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 2689

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2689 2^{4} 5^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2689 5^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

5^{4} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2}

= 2^{2} \cdot 5^{2} 2689

Redéfinir

= 1002689

u_{1, 2} = \frac{- ( - 180 ) \pm 100 2689}{2 ( - 2725 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 180 ) + 100 2689}{2 ( - 2725 )}, u_{2} = \frac{- ( - 180 ) - 100 2689}{2 ( - 2725 )}

u = \frac{- ( - 180 ) + 100 2689}{2 ( - 2725 )} : - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

\frac{- ( - 180 ) + 100 2689}{2 ( - 2725 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{180 + 100 2689}{- 2 \cdot 2725}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2725 = 5450

= \frac{180 + 100 2689}{- 5450}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{180 + 100 2689}{5450}

Annuler

\frac{180 + 100 2689}{5450} : \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

\frac{180 + 100 2689}{5450}

Factoriser

180 + 1002689 : 20 (9 + 52689)

180 + 1002689

Récrire comme

= 20 \cdot 9 + 20 \cdot 52689

Factoriser le terme commun

20

= 20 (9 + 52689)

= \frac{20 ( 9 + 5 2689 )}{5450}

Annuler le facteur commun :

10

= \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

= - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

u = \frac{- ( - 180 ) - 100 2689}{2 ( - 2725 )} : \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

\frac{- ( - 180 ) - 100 2689}{2 ( - 2725 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{180 - 100 2689}{- 2 \cdot 2725}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2725 = 5450

= \frac{180 - 100 2689}{- 5450}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

180 - 1002689 = - (1002689 - 180)

= \frac{100 2689 - 180}{5450}

Factoriser

1002689 - 180 : 20 (52689 - 9)

1002689 - 180

Récrire comme

= 20 \cdot 52689 - 20 \cdot 9

Factoriser le terme commun

20

= 20 (52689 - 9)

= \frac{20 ( 5 2689 - 9 )}{5450}

Annuler le facteur commun :

10

= \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, u = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 9 + 5 2689 )}{545}) + 2 πn

Solutions pour la plage

0 < x < \frac{π}{2}

Aucune solution

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2} : x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}, 0 < x < \frac{π}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) + 2 πn

Solutions pour la plage

0 < x < \frac{π}{2}

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

50 sin (x) - 15 cos (x) = 6

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545}) :

vrai

arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Insérer

n = 1

arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Pour

50 sin (x) - 15 cos (x) = 6

insérer

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

50 sin (arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})) - 15 cos (arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})) = 6

Redéfinir

6 = 6

\Rightarrow vrai

x = arccos (\frac{2 ( 5 2689 - 9 )}{545})

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.40665 \dots

Graphe

Exemples populaires

solvefor y,x=3sin(y)

so l v e f or y, x = 3 sin (y)

sin(x)-0.75=0

sin (x) - 0.75 = 0

2cos^2(x)+cos(x)-6=0

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 6 = 0

tan(2x)+sec(2x)=4

tan (2 x) + sec (2 x) = 4

sqrt(3)tan(θ-20)=tan^2(45)

3 tan (θ - 2 0^{\circ}) = tan^{2} (4 5^{\circ})