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Beliebt Trigonometrie >

6sin^2(x)+5cos(x)=7

Lösung

6 sin^{2} (x) + 5 cos (x) = 7

Lösung

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 70.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 289.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 sin^{2} (x) + 5 cos (x) = 7

Subtrahiere

7

von beiden Seiten

6 sin^{2} (x) + 5 cos (x) - 7 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 7 + 5 cos (x) + 6 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 7 + 5 cos (x) + 6 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 7 + 5 cos (x) + 6 (1 - cos^{2} (x)) : 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) - 1

- 7 + 5 cos (x) + 6 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

6 (1 - cos^{2} (x)) : 6 - 6 cos^{2} (x)

6 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 6, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 6 \cdot 1 - 6 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 1 = 6

= 6 - 6 cos^{2} (x)

= - 7 + 5 cos (x) + 6 - 6 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 7 + 5 cos (x) + 6 - 6 cos^{2} (x) : 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) - 1

- 7 + 5 cos (x) + 6 - 6 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) - 7 + 6

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 6 = - 1

= 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) - 1

= 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) - 1

= 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 5 cos (x) - 6 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 1 + 5 u - 6 u^{2} = 0

- 1 + 5 u - 6 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = \frac{1}{2}

- 1 + 5 u - 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} + 5 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} + 5 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = 5, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 1 )}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 1 )}{2 ( - 6 )}

5^{2} - 4 (- 6) (- 1) = 1

5^{2} - 4 (- 6) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 5^{2} - 24

5^{2} = 25

= 25 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 24 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 1}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- 5 - 1}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- 5 + 1}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{3}

\frac{- 5 + 1}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 + 1}{- 2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 1 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 4}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{3}

u = \frac{- 5 - 1}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 - 1}{- 2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 1 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{3}, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{3}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{3}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{3} : x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-3=tan^2(θ)-2-2tan(θ)

- 3 = tan^{2} (θ) - 2 - 2 tan (θ)

tan(6x)-3tan(3x)=0

tan (6 x) - 3 tan (3 x) = 0

sin(a)= 2/5

sin (a) = \frac{2}{5}

cos^2(θ)-cos(θ)-1=0

cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

3cot^2(x)-4csc(x)=1

3 cot^{2} (x) - 4 csc (x) = 1