English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular >

sqrt(3)cos(x)+sin(x)=-1

Solución

3 cos (x) + sin (x) = - 1

Solución

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos (x) + sin (x) = - 1

Restar

sin (x)

de ambos lados

3 cos (x) = - 1 - sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(3 cos (x))^{2} = (- 1 - sin (x))^{2}

Restar

(- 1 - sin (x))^{2}

de ambos lados

3 cos^{2} (x) - 1 - 2 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 2

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

3 (1 - sin^{2} (x)) : 3 - 3 sin^{2} (x)

3 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x) : - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 2

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3 - 3 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) - 1 + 3

Sumar elementos similares:

- sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 + 3

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 3 = 2

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 2

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 2

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 2

2 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

2 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 2 u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} - 2 u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = - 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 6

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Sumar:

4 + 32 = 36

= 36

Descomponer el número en factores primos:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 6}{- 2 \cdot 4}

Sumar:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 6}{- 2 \cdot 4}

Restar:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluciones generales para

sin (x) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

3 cos (x) + sin (x) = - 1

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + sin (x) = - 1

por

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

3 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = - 1

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{π}{6} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{6} + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + sin (x) = - 1

por

x = \frac{π}{6} + 2 π 1

3 cos (\frac{π}{6} + 2 π 1) + sin (\frac{π}{6} + 2 π 1) = - 1

Simplificar

2 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{5 π}{6} + 2 πn :

Verdadero

\frac{5 π}{6} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{5 π}{6} + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + sin (x) = - 1

por

x = \frac{5 π}{6} + 2 π 1

3 cos (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) + sin (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) = - 1

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

-3=tan^2(θ)-2-2tan(θ)

- 3 = tan^{2} (θ) - 2 - 2 tan (θ)

-2cos^2(x)-9sin(x)-3=0

- 2 cos^{2} (x) - 9 sin (x) - 3 = 0

sin(2x)=-(2sqrt(6))/7

sin (2 x) = - \frac{2 6}{7}

tan(6x)-3tan(3x)=0

tan (6 x) - 3 tan (3 x) = 0

sin(a)= 2/5

sin (a) = \frac{2}{5}