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人気のある三角関数 >

3sin(x)+6cos(x)=4

解

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

解

x = 1.39557 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.46828 \dots + 2 πn

+1

度

x = 79.96077 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 333.16932 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

両辺から

6 cos (x)

を引く

3 sin (x) = 4 - 6 cos (x)

両辺を2乗する

(3 sin (x))^{2} = (4 - 6 cos (x))^{2}

両辺から

(4 - 6 cos (x))^{2}

を引く

9 sin^{2} (x) - 16 + 48 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

拡張

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

数を乗じる:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 36 cos^{2} (x) + 48 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 16 + 9

類似した元を足す:

- 36 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 45 cos^{2} (x)

= - 45 cos^{2} (x) + 48 cos (x) - 16 + 9

数を足す/引く:

- 16 + 9 = - 7

= 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

= 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

= 48 cos (x) - 45 cos^{2} (x) - 7

- 7 - 45 cos^{2} (x) + 48 cos (x) = 0

置換で解く

- 7 - 45 cos^{2} (x) + 48 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 7 - 45 u^{2} + 48 u = 0

- 7 - 45 u^{2} + 48 u = 0 : u = \frac{8 - 29}{15}, u = \frac{8 + 29}{15}

- 7 - 45 u^{2} + 48 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 45 u^{2} + 48 u - 7 = 0

解くとthe二次式

- 45 u^{2} + 48 u - 7 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 45, b = 48, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- 48 \pm 4 8 ^{2} - 4 ( - 45 ) ( - 7 )}{2 ( - 45 )}

u_{1, 2} = \frac{- 48 \pm 4 8 ^{2} - 4 ( - 45 ) ( - 7 )}{2 ( - 45 )}

4 8^{2} - 4 (- 45) (- 7) = 629

4 8^{2} - 4 (- 45) (- 7)

規則を適用

- (- a) = a

= 4 8^{2} - 4 \cdot 45 \cdot 7

数を乗じる:

4 \cdot 45 \cdot 7 = 1260

= 4 8^{2} - 1260

4 8^{2} = 2304

= 2304 - 1260

数を引く:

2304 - 1260 = 1044

= 1044

以下の素因数分解:

1044 : 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 29

1044

104421044 = 522 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 522

5222522 = 261 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 261

2613261 = 87 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 87

87387 = 29 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 29

2, 3, 29

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 29

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 29

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 29

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 29 2^{2} 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 229 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 329

改良

= 629

u_{1, 2} = \frac{- 48 \pm 6 29}{2 ( - 45 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 48 + 6 29}{2 ( - 45 )}, u_{2} = \frac{- 48 - 6 29}{2 ( - 45 )}

u = \frac{- 48 + 6 29}{2 ( - 45 )} : \frac{8 - 29}{15}

\frac{- 48 + 6 29}{2 ( - 45 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 48 + 6 29}{- 2 \cdot 45}

数を乗じる:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 48 + 6 29}{- 90}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 48 + 629 = - (48 - 629)

= \frac{48 - 6 29}{90}

因数

48 - 629 : 6 (8 - 29)

48 - 629

書き換え

= 6 \cdot 8 - 629

共通項をくくり出す

6

= 6 (8 - 29)

= \frac{6 ( 8 - 29 )}{90}

共通因数を約分する:

6

= \frac{8 - 29}{15}

u = \frac{- 48 - 6 29}{2 ( - 45 )} : \frac{8 + 29}{15}

\frac{- 48 - 6 29}{2 ( - 45 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 48 - 6 29}{- 2 \cdot 45}

数を乗じる:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 48 - 6 29}{- 90}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 48 - 629 = - (48 + 629)

= \frac{48 + 6 29}{90}

因数

48 + 629 : 6 (8 + 29)

48 + 629

書き換え

= 6 \cdot 8 + 629

共通項をくくり出す

6

= 6 (8 + 29)

= \frac{6 ( 8 + 29 )}{90}

共通因数を約分する:

6

= \frac{8 + 29}{15}

二次equationの解:

u = \frac{8 - 29}{15}, u = \frac{8 + 29}{15}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}, cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}, cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

cos (x) = \frac{8 - 29}{15} : x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}

以下の一般解

cos (x) = \frac{8 - 29}{15}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 29}{15} : x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

以下の一般解

cos (x) = \frac{8 + 29}{15}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 π 1) = 4

改良

- 1.90813 \dots = 4

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn :

偽

arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) = 4

改良

6.70813 \dots = 4

\Rightarrow 偽

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn :

真

2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (x) + 6 cos (x) = 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

x = arccos (\frac{8 - 29}{15}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{8 + 29}{15}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 1.39557 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.46828 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

3 tan (2 x + 1) = 2

tan(2x)-2=3tan(x)

tan (2 x) - 2 = 3 tan (x)

sin (x - \frac{π}{6}) = 0

arccot(x-2)=arccot(x-1)+arccot(x)

arccot (x - 2) = arccot (x - 1) + arccot (x)

arccos (2 x) = π