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Popular >

4cos^4(x)-2cos^3(x)-4cos^2(x)+cos(x)+1=0

Solución

4 cos^{4} (x) - 2 cos^{3} (x) - 4 cos^{2} (x) + cos (x) + 1 = 0

Solución

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 cos^{4} (x) - 2 cos^{3} (x) - 4 cos^{2} (x) + cos (x) + 1 = 0

Usando el método de sustitución

4 cos^{4} (x) - 2 cos^{3} (x) - 4 cos^{2} (x) + cos (x) + 1 = 0

Sea:

cos (x) = u

4 u^{4} - 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

4 u^{4} - 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

4 u^{4} - 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

Factorizar

4 u^{4} - 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 : (u - 1) (2 u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

4 u^{4} - 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 4

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2, 4

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{4} - 2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{4} - 2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 4 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{4 u ^{4} - 2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{4 u ^{4} - 2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{4 u ^{4} - 2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 4 u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

4 u^{4} - 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{4 u ^{4}}{u} = 4 u^{3}

Cociente = 4 u^{3}

Multiplicar

u - 1

por

4 u^{3} : 4 u^{4} - 4 u^{3}

Substraer

4 u^{4} - 4 u^{3}

4 u^{4} - 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Por lo tanto

\frac{4 u ^{4} - 2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 4 u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= 4 u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Substraer

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 2 u^{2} + u + 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= 4 u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 2 u^{2} + u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Cociente = - 2 u

Multiplicar

u - 1

por

- 2 u : - 2 u^{2} + 2 u

Substraer

- 2 u^{2} + 2 u

- 2 u^{2} + u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - u + 1

Por lo tanto

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= 4 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Cociente = - 1

Multiplicar

u - 1

por

- 1 : - u + 1

Substraer

- u + 1

- u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= 4 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= 4 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Factorizar

4 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1 : (2 u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

4 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= (4 u^{3} + 2 u^{2}) + (- 2 u - 1)

Factorizar

- 1

- 2 u - 1

- (2 u + 1)

- 2 u - 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u + 1)

Factorizar

2 u^{2}

4 u^{3} + 2 u^{2}

2 u^{2} (2 u + 1)

4 u^{3} + 2 u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 4 u u^{2} + 2 u^{2}

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u u^{2} + 2 u^{2}

Factorizar el termino común

2 u^{2}

= 2 u^{2} (2 u + 1)

= - (2 u + 1) + 2 u^{2} (2 u + 1)

Factorizar el termino común

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u^{2} - 1)

Factorizar

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Reescribir

2 u^{2} - 1

como

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 1 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= u

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

Resolver

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= u

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

Las soluciones son

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{2}{2}, cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{2}{2}, cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluciones generales para

cos (x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{2}{2} : x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) = - \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) = \frac{2}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (x) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Ejemplos populares

112=72+40cos(18t)

112 = 72 + 40 cos (18 t)

1+sin(x)=(2)(cos(x))

1 + sin (x) = (2) (cos (x))

cos(2x)=-0.32

cos (2 x) = - 0.32

sin((3pi)/2-0)=-cos(x)

sin (\frac{3 π}{2} - 0) = - cos (x)

sec(x)=-7/4

sec (x) = - \frac{7}{4}