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sec(2x)+tan(2x)=2

Solución

sec (2 x) + tan (2 x) = 2

Solución

x = 0.32175 \dots + πn

Grados

x = 18.43494 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

sec (2 x) + tan (2 x) = 2

Restar

2

de ambos lados

sec (2 x) + tan (2 x) - 2 = 0

Expresar con seno, coseno

- 2 + sec (2 x) + tan (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 2 + \frac{1}{cos ( 2 x )} + tan (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 2 + \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Simplificar

- 2 + \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{- 2 cos ( 2 x ) + 1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

- 2 + \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= - 2 + \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

Convertir a fracción:

2 = \frac{2 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= - \frac{2 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 cos ( 2 x ) + 1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{- 2 cos ( 2 x ) + 1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1 + sin ( 2 x ) - 2 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + sin (2 x) - 2 cos (2 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + sin (2 x) - 2 cos (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= 1 + sin (2 x) - 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

1 + sin (2 x) = (sin (x) + cos (x))^{2}

1 + sin (2 x)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) + sin (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x) = (sin (x) + cos (x))^{2}

= (sin (x) + cos (x))^{2}

= (sin (x) + cos (x))^{2} - 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Simplificar

(sin (x) + cos (x))^{2} - 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

(sin (x) + cos (x))^{2} - 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

(sin (x) + cos (x))^{2} : sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = sin (x), b = cos (x)

= sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)

= sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x) - 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Expandir

- 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : - 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

- 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) - (- 2) sin^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

Simplificar

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x) : 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

Sumar elementos similares:

cos^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) = - cos^{2} (x)

= sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

Sumar elementos similares:

sin^{2} (x) + 2 sin^{2} (x) = 3 sin^{2} (x)

= 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

= 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

= 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

- cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) = 0

Factorizar

- cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) : (3 sin (x) - cos (x)) (sin (x) + cos (x))

- cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Factorizar la expresión

3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

Definición

Factores de

3 : 1, 3

3

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Agregar 1

1

Divisores de

3

1, 3

Factores negativos de

3 : - 1, - 3

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 3

Por cada dos factores tales que

u * v = - 3,

revisar si

u + v = 2

Revisar

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

Verdadero

u = 3, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(3 sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x))

= (3 sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x))

Factorizar

sin (x)

3 sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

sin (x) (3 sin (x) - cos (x))

3 sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= 3 sin (x) sin (x) - sin (x) cos (x)

Factorizar el termino común

sin (x)

= sin (x) (3 sin (x) - cos (x))

Factorizar

cos (x)

3 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

cos (x) (3 sin (x) - cos (x))

3 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= 3 sin (x) cos (x) - cos (x) cos (x)

Factorizar el termino común

cos (x)

= cos (x) (3 sin (x) - cos (x))

= sin (x) (3 sin (x) - cos (x)) + cos (x) (3 sin (x) - cos (x))

Factorizar el termino común

3 sin (x) - cos (x)

= (3 sin (x) - cos (x)) (sin (x) + cos (x))

(3 sin (x) - cos (x)) (sin (x) + cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

3 sin (x) - cos (x) = 0 or sin (x) + cos (x) = 0

3 sin (x) - cos (x) = 0 : x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

3 sin (x) - cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

3 sin (x) - cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{3 sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 tan (x) - 1 = 0

3 tan (x) - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

3 tan (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

3 tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

3 tan (x) = 1

3 tan (x) = 1

Dividir ambos lados entre

3

3 tan (x) = 1

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{1}{3}

Simplificar

tan (x) = \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = \frac{1}{3}

Soluciones generales para

tan (x) = \frac{1}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

sin (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4} + πn

sin (x) + cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

tan (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Soluciones generales para

tan (x) = - 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

\frac{3 π}{4} + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.32175 \dots + πn

Ejemplos populares

sec(2x)+tan(2x)=9

sec (2 x) + tan (2 x) = 9

2+3cos^2(x)=sin^2(x)+4cos(x)

2 + 3 cos^{2} (x) = sin^{2} (x) + 4 cos (x)

sin(x)-sqrt(3cos(x))=0

sin (x) - 3 cos (x) = 0

tan(4x)-tan(2x)=0

tan (4 x) - tan (2 x) = 0

solvefor t,sin(t)+2sin(2t)=0 resolver para

t, sin (t) + 2 sin (2 t) = 0