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Populaire Trigonométrie >

4cos^3(x)-7cos(x)-3=0

Solution

4 cos^{3} (x) - 7 cos (x) - 3 = 0

Solution

x = π + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 cos^{3} (x) - 7 cos (x) - 3 = 0

Résoudre par substitution

4 cos^{3} (x) - 7 cos (x) - 3 = 0

Soit :

cos (x) = u

4 u^{3} - 7 u - 3 = 0

4 u^{3} - 7 u - 3 = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 7 u - 3 = 0

Factoriser

4 u^{3} - 7 u - 3 : (u + 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 7 u - 3

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 3, a_{n} = 4

Les diviseurs de

a_{0} : 1, 3,

Les diviseurs de

a_{n} : 1, 2, 4

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

- \frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u + 1

= (u + 1) \frac{4 u ^{3} - 7 u - 3}{u + 1}

\frac{4 u ^{3} - 7 u - 3}{u + 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 7 u - 3}{u + 1}

Diviser

\frac{4 u ^{3} - 7 u - 3}{u + 1} : \frac{4 u ^{3} - 7 u - 3}{u + 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 7 u - 3}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

4 u^{3} - 7 u - 3

et le diviseur

u + 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Quotient = 4 u^{2}

Multiplier

u + 1

par

4 u^{2} : 4 u^{3} + 4 u^{2}

Soustraire

4 u^{3} + 4 u^{2}

4 u^{3} - 7 u - 3

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - 4 u^{2} - 7 u - 3

Par conséquent

\frac{4 u ^{3} - 7 u - 3}{u + 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 7 u - 3}{u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} - 7 u - 3}{u + 1}

Diviser

\frac{- 4 u ^{2} - 7 u - 3}{u + 1} : \frac{- 4 u ^{2} - 7 u - 3}{u + 1} = - 4 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Diviser les coefficients directeurs

- 4 u^{2} - 7 u - 3

et le diviseur

u + 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

Quotient = - 4 u

Multiplier

u + 1

par

- 4 u : - 4 u^{2} - 4 u

Soustraire

- 4 u^{2} - 4 u

- 4 u^{2} - 7 u - 3

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - 3 u - 3

Par conséquent

\frac{- 4 u ^{2} - 7 u - 3}{u + 1} = - 4 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u - 3}{u + 1}

Diviser

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} : \frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

Diviser les coefficients directeurs

- 3 u - 3

et le diviseur

u + 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Quotient = - 3

Multiplier

u + 1

par

- 3 : - 3 u - 3

Soustraire

- 3 u - 3

- 3 u - 3

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{- 3 u - 3}{u + 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

Factoriser

4 u^{2} - 4 u - 3 : (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

Décomposer l'expression en groupes

4 u^{2} - 4 u - 3

Définition

Facteurs de

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

12 : 2, 2, 3

12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier les facteurs premiers de

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3

Ajouter 1 et le nombre

12

lui-même

1, 12

Les facteurs de

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Facteurs négatifs de

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 12,

vérifier si

u + v = - 4

Vérifier

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

vrai

u = 2, v = - 6

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

Factoriser

2 u

depuis

4 u^{2} + 2 u : 2 u (2 u + 1)

4 u^{2} + 2 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

Récrire

4

comme

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

Factoriser le terme commun

2 u

= 2 u (2 u + 1)

Factoriser

- 3

depuis

- 6 u - 3 : - 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Récrire

6

comme

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Factoriser le terme commun

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Factoriser le terme commun

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u + 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u + 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Résoudre

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Résoudre

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 u = - 1

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Résoudre

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 u = 3

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Les solutions sont

u = - 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2} :

Aucune solution

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = π + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

(sin(θ))/(1.3)=(sin(125))/(2.8519)

\frac{sin ( θ )}{1.3} = \frac{sin ( 12 5 ^{\circ} )}{2.8519}

8sin(θ)cos(θ)tan(θ)=csc(θ)

8 sin (θ) cos (θ) tan (θ) = csc (θ)

(cot(θ))/(sec(θ))=sin(θ)

\frac{cot ( θ )}{sec ( θ )} = sin (θ)

16sin(2x)=0

16 sin (2 x) = 0

cos(2α)+sin(α)=0

cos (2 α) + sin (α) = 0