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Popular Trigonometria >

cos(2x)sin(x)=1

Solução

cos (2 x) sin (x) = 1

Solução

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graus

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (2 x) sin (x) = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

cos (2 x) sin (x) - 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 x) sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x)

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

Expandir

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u : - 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u

= - 1 + u (1 - 2 u^{2})

Expandir

u (1 - 2 u^{2}) : u - 2 u^{3}

u (1 - 2 u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 1, c = 2 u^{2}

= u \cdot 1 - u \cdot 2 u^{2}

= 1 \cdot u - 2 u^{2} u

Simplificar

1 \cdot u - 2 u^{2} u : u - 2 u^{3}

1 \cdot u - 2 u^{2} u

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Somar:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= - 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + u - 2 u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 2 u^{3} + u - 1 = 0

Fatorar

- 2 u^{3} + u - 1 : - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- 2 u^{3} + u - 1

Fatorar o termo comum

- 1

= - (2 u^{3} - u + 1)

Fatorar

2 u^{3} - u + 1 : (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

2 u^{3} - u + 1

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Os divisores de

a_{0} : 1,

Os divisores de

a_{n} : 1, 2

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1}{1 , 2}

- \frac{1}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u + 1

= (u + 1) \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} - 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} : \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

2 u^{3} - u + 1

e o divisor

u + 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u^{2}

Subtrair

2 u^{3} + 2 u^{2}

2 u^{3} - u + 1

para obter um novo resto

Resto = - 2 u^{2} - u + 1

Portanto

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} : \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

- 2 u^{2} - u + 1

e o divisor

u + 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Quociente = - 2 u

Multiplicar

u + 1

por

- 2 u : - 2 u^{2} - 2 u

Subtrair

- 2 u^{2} - 2 u

- 2 u^{2} - u + 1

para obter um novo resto

Resto = u + 1

Portanto

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividir

\frac{u + 1}{u + 1} : \frac{u + 1}{u + 1} = 1

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

u + 1

e o divisor

u + 1 : \frac{u}{u} = 1

Quociente = 1

Multiplicar

u + 1

por

1 : u + 1

Subtrair

u + 1

u + 1

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{u + 1}{u + 1} = 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

= - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplificar

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Somar/subtrair:

- 4 + 8 = 4

= 4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 i}{4}

Fatorar

2 + 2 i : 2 (1 + i)

2 + 2 i

Reescrever como

= 2 \cdot 1 + 2 i

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 + i)

= \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1 + i}{2}

Reescrever

\frac{1 + i}{2}

na forma complexa padrão:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{1 + i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 i}{4}

Fatorar

2 - 2 i : 2 (1 - i)

2 - 2 i

Reescrever como

= 2 \cdot 1 - 2 i

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 - i)

= \frac{2 ( 1 - i )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1 - i}{2}

Reescrever

\frac{1 - i}{2}

na forma complexa padrão:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

\frac{1 - i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

As soluções são

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Sem solução

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Sem solução

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(θ)=10

sin (θ) = 10

17.6^2=15^2+13.1^2-2(15)(13.1)*cos(A)

17. 6^{2} = 1 5^{2} + 13. 1^{2} - 2 (15) (13.1) \cdot cos (A)

sin(θ)=45

sin (θ) = 45

cot(θ)+2csc(θ)=6

cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

(1+cot(x))/(1+tan(x))=5

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} = 5