English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

cot(θ)+2csc(θ)=6

الحلّ

cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

الحلّ

θ = 0.50017 \dots + 2 πn, θ = 2.97171 \dots + 2 πn

درجات

θ = 28.65815 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 170.26648 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

من الطرفين

6

اطرح

cot (θ) + 2 csc (θ) - 6 = 0

sin, cos :

عبّر بواسطة

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 = 0

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6

بسّط:

\frac{cos ( θ ) + 2 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{2}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( θ )}

1 \cdot 2 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} - 6

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )}

وحّد الكسور:

\frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

فعّل القانون

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - 6

6 = \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{cos ( θ ) + 2 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 2 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 2 - 6 sin (θ) = 0

للطرفين

6 sin (θ)

أضف

cos (θ) + 2 = 6 sin (θ)

ربّع الطرفين

(cos (θ) + 2)^{2} = (6 sin (θ))^{2}

من الطرفين

(6 sin (θ))^{2}

اطرح

(cos (θ) + 2)^{2} - 36 sin^{2} (θ) = 0

Rewrite using trig identities

(2 + cos (θ))^{2} - 36 sin^{2} (θ)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

(2 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

بسّط:

37 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 32

(2 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

(2 + cos (θ))^{2} : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

:فعّل صيغة الضرب المختصر

a = 2, b = cos (θ)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

بسّط:

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 (1 - cos^{2} (θ))

- 36 (1 - cos^{2} (θ))

وسٌع:

- 36 + 36 cos^{2} (θ)

- 36 (1 - cos^{2} (θ))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = - 36, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) cos^{2} (θ)

فعّل قوانين سالب-موجب

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 cos^{2} (θ)

36 \cdot 1 = 36 :

اضرب الأعداد

= - 36 + 36 cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

بسّط:

37 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 32

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

جمّع التعابير المتشابهة

= 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) + 4 - 36

cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) = 37 cos^{2} (θ) :

اجمع العناصر المتشابهة

= 4 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) + 4 - 36

4 - 36 = - 32 :

اطرح/اجمع الأعداد

= 37 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 32

= 37 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 32

= 37 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 32

- 32 + 37 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- 32 + 37 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

cos (θ) = u :

على افتراض أنّ

- 32 + 37 u^{2} + 4 u = 0

- 32 + 37 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, u = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

- 32 + 37 u^{2} + 4 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

37 u^{2} + 4 u - 32 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

37 u^{2} + 4 u - 32 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 37, b = 4, c = - 32

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 32 )}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 32 )}{2 \cdot 37}

4^{2} - 4 \cdot 37 (- 32) = 1233

4^{2} - 4 \cdot 37 (- 32)

- (- a) = a

فعّل القانون

= 4^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 32

4 \cdot 37 \cdot 32 = 4736 :

اضرب الأعداد

= 4^{2} + 4736

4^{2} = 16

= 16 + 4736

16 + 4736 = 4752 :

اجمع الأعداد

= 4752

4752

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11

4752

4752 = 2376 \cdot 2, 2

ينقسم على

4752

= 2 \cdot 2376

2376 = 1188 \cdot 2, 2

ينقسم على

2376

= 2 \cdot 2 \cdot 1188

1188 = 594 \cdot 2, 2

ينقسم على

1188

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 594

594 = 297 \cdot 2, 2

ينقسم على

594

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 297

297 = 99 \cdot 3, 3

ينقسم على

297

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 99

99 = 33 \cdot 3, 3

ينقسم على

99

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 33

33 = 11 \cdot 3, 3

ينقسم على

33

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3, 11

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

:فعّل قانون القوى

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 11

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 2^{4} 3^{2} 3 \cdot 11

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

:فعْل قانون الجذور

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 11

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 3 3 \cdot 11

بسّط

= 1233

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 12 33}{2 \cdot 37}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 4 + 12 33}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- 4 - 12 33}{2 \cdot 37}

u = \frac{- 4 + 12 33}{2 \cdot 37} : \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

\frac{- 4 + 12 33}{2 \cdot 37}

2 \cdot 37 = 74 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 4 + 12 33}{74}

- 4 + 1233

حلل إلى عوامل:

4 (- 1 + 333)

- 4 + 1233

أعد الكتابة كـ

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 333

4

قم باخراج العامل المشترك

= 4 (- 1 + 333)

= \frac{4 ( - 1 + 3 33 )}{74}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

u = \frac{- 4 - 12 33}{2 \cdot 37} : - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

\frac{- 4 - 12 33}{2 \cdot 37}

2 \cdot 37 = 74 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 4 - 12 33}{74}

- 4 - 1233

حلل إلى عوامل:

- 4 (1 + 333)

- 4 - 1233

أعد الكتابة كـ

= - 4 \cdot 1 - 4 \cdot 333

4

قم باخراج العامل المشترك

= - 4 (1 + 333)

= - \frac{4 ( 1 + 3 33 )}{74}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, u = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

u = cos (θ)

استبدل مجددًا

cos (θ) = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37} : θ = arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

Apply trig inverse properties

cos (θ) = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37} : θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

Apply trig inverse properties

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

وحّد الحلول

θ = arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

θ = arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

عوّض

, cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

في

cot (arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) + 2 csc (arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) = 6

بسّط

6 = 6

\Rightarrow صحيح

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn

n = 1

استبدل

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1

عوّض

, cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

في

cot (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) + 2 csc (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 π 1) = 6

بسّط

- 6 = 6

\Rightarrow خطأ

arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

عوّض

, cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

في

cot (arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) + 2 csc (arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) = 6

بسّط

6 = 6

\Rightarrow صحيح

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

n = 1

استبدل

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1

عوّض

, cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

في

cot (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) + 2 csc (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 π 1) = 6

بسّط

- 6 = 6

\Rightarrow خطأ

θ = arccos (\frac{2 ( 3 33 - 1 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 33 )}{37}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

θ = 0.50017 \dots + 2 πn, θ = 2.97171 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

(1+cot(x))/(1+tan(x))=5

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} = 5

4=4cos(x)

4 = 4 cos (x)

cos^2(x)=2sin(x)-2

cos^{2} (x) = 2 sin (x) - 2

3sec^2(u)+7tan(u)=3

3 sec^{2} (u) + 7 tan (u) = 3

3sin(t)=2cos^2(t)

3 sin (t) = 2 cos^{2} (t)