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tan^4(x)-2tan^2(x)-1=0

Solución

tan^{4} (x) - 2 tan^{2} (x) - 1 = 0

Solución

x = 0.99893 \dots + πn, x = - 0.99893 \dots + πn

Grados

x = 57.23490 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 57.23490 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan^{4} (x) - 2 tan^{2} (x) - 1 = 0

Usando el método de sustitución

tan^{4} (x) - 2 tan^{2} (x) - 1 = 0

Sea:

tan (x) = u

u^{4} - 2 u^{2} - 1 = 0

u^{4} - 2 u^{2} - 1 = 0 : u = 1 + 2, u = - 1 + 2, u = i - 1 + 2, u = - i - 1 + 2

u^{4} - 2 u^{2} - 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 2 v - 1 = 0

Resolver

v^{2} - 2 v - 1 = 0 : v = 1 + 2, v = 1 - 2

v^{2} - 2 v - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

v^{2} - 2 v - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 2, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Sumar:

4 + 4 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Factorizar

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

v = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Factorizar

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Reescribir como

= 2 \cdot 1 - 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = 1 + 2, v = 1 - 2

v = 1 + 2, v = 1 - 2

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = 1 + 2 : u = 1 + 2, u = - 1 + 2

u^{2} = 1 + 2

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1 + 2, u = - 1 + 2

Resolver

u^{2} = 1 - 2 : u = i - 1 + 2, u = - i - 1 + 2

u^{2} = 1 - 2

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1 - 2, u = - 1 - 2

Simplificar

1 - 2 : i - 1 + 2

1 - 2

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 2 - 1

Simplificar

- 1 - 2 : - i - 1 + 2

- 1 - 2

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= - i 2 - 1

u = i - 1 + 2, u = - i - 1 + 2

Las soluciones son

u = 1 + 2, u = - 1 + 2, u = i - 1 + 2, u = - i - 1 + 2

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) = 1 + 2, tan (x) = - 1 + 2, tan (x) = i - 1 + 2, tan (x) = - i - 1 + 2

tan (x) = 1 + 2, tan (x) = - 1 + 2, tan (x) = i - 1 + 2, tan (x) = - i - 1 + 2

tan (x) = 1 + 2 : x = arctan (1 + 2) + πn

tan (x) = 1 + 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = 1 + 2

Soluciones generales para

tan (x) = 1 + 2

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (1 + 2) + πn

x = arctan (1 + 2) + πn

tan (x) = - 1 + 2 : x = arctan (- 1 + 2) + πn

tan (x) = - 1 + 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = - 1 + 2

Soluciones generales para

tan (x) = - 1 + 2

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- 1 + 2) + πn

x = arctan (- 1 + 2) + πn

tan (x) = i - 1 + 2 :

Sin solución

tan (x) = i - 1 + 2

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

tan (x) = - i - 1 + 2 :

Sin solución

tan (x) = - i - 1 + 2

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arctan (1 + 2) + πn, x = arctan (- 1 + 2) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.99893 \dots + πn, x = - 0.99893 \dots + πn

Ejemplos populares

-0.002=sin(2pi*(3)-500pi(0)+x)

- 0.002 = sin (2 π \cdot (3) - 500 π (0) + x)

3tan(2x-pi/2)=2sin(pi/3)

3 tan (2 x - \frac{π}{2}) = 2 sin (\frac{π}{3})

2tan(x)-2=0,0<= x<= 2pi

2 tan (x) - 2 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

tan(35)tan(56-x)=1

tan (3 5^{\circ}) tan (5 6^{\circ} - x) = 1

42.25=0.1681cos(b)

42.25 = 0.1681 cos (b)