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solvefor θ,r=sqrt(1+cos(2θ))

Solución

resolver para

θ, r = 1 + cos (2 θ)

Solución

θ = \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn, θ = - \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

Pasos de solución

r = 1 + cos (2 θ)

Intercambiar lados

1 + cos (2 θ) = r

Elevar al cuadrado ambos lados:

1 + cos (2 θ) = r^{2}

1 + cos (2 θ) = r

(1 + cos (2 θ))^{2} = r^{2}

Desarrollar

(1 + cos (2 θ))^{2} : 1 + cos (2 θ)

(1 + cos (2 θ))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + cos (2 θ))^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + cos (2 θ))^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 1 + cos (2 θ)

1 + cos (2 θ) = r^{2}

1 + cos (2 θ) = r^{2}

Resolver

1 + cos (2 θ) = r^{2} : cos (2 θ) = r^{2} - 1

1 + cos (2 θ) = r^{2}

Mover

1

al lado derecho

1 + cos (2 θ) = r^{2}

Restar

1

de ambos lados

1 + cos (2 θ) - 1 = r^{2} - 1

Simplificar

cos (2 θ) = r^{2} - 1

cos (2 θ) = r^{2} - 1

cos (2 θ) = r^{2} - 1

Verificar las soluciones:

cos (2 θ) = r^{2} - 1 {r \geq 0}

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

1 + cos (2 θ) = r

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Inserir

cos (2 θ) = r^{2} - 1 : 1 + r^{2} - 1 = r \Rightarrow r \geq 0

1 + (r^{2} - 1) = r

Elevar al cuadrado ambos lados:

r^{2} = r^{2}

1 + r^{2} - 1 = r

(1 + r^{2} - 1)^{2} = r^{2}

Desarrollar

(1 + r^{2} - 1)^{2} : r^{2}

(1 + r^{2} - 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + r^{2} - 1)^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + r^{2} - 1)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 1 + r^{2} - 1

Simplificar

= r^{2}

r^{2} = r^{2}

r^{2} = r^{2}

Los lados son iguales

Verdadero para todo r

Verificar las soluciones:

r < 0

Falso

, r = 0

Verdadero

, r > 0

Verdadero

1 + (r^{2} - 1) = r

Combinar intervalo de dominio con el de solución:

Verdadero para todo r

Encontrar los intervalos de la función:

r < 0, r = 0, r > 0

1 + (r^{2} - 1) = r

Encontrar las raíces pares con argumento cero:

Resolver

1 + (r^{2} - 1) = 0 : r = 0

1 + (r^{2} - 1) = 0

Simplificar

r^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

r = 0

r = 0

Los intervalos estan definidos alrededor de los ceros:

r < 0, r = 0, r > 0

Combinar intervalos con el dominio

r < 0, r = 0, r > 0

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

1 + (r^{2} - 1) = r

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

r < 0 : 1 + (r^{2} - 1) \neq = r \Rightarrow

Falso

La solución es

r \geq 0

La solución es

cos (2 θ) = r^{2} - 1 {r \geq 0}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (2 θ) = r^{2} - 1

Soluciones generales para

cos (2 θ) = r^{2} - 1

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

2 θ = arccos (r^{2} - 1) + 2 πn, 2 θ = - arccos (r^{2} - 1) + 2 πn

2 θ = arccos (r^{2} - 1) + 2 πn, 2 θ = - arccos (r^{2} - 1) + 2 πn

Resolver

2 θ = arccos (r^{2} - 1) + 2 πn : θ = \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

2 θ = arccos (r^{2} - 1) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 θ = arccos (r^{2} - 1) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

θ = \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

θ = \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

Resolver

2 θ = - arccos (r^{2} - 1) + 2 πn : θ = - \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

2 θ = - arccos (r^{2} - 1) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 θ = - arccos (r^{2} - 1) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 θ}{2} = - \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

θ = - \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

θ = - \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

θ = \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn, θ = - \frac{arccos ( r ^{2} - 1 )}{2} + πn

Ejemplos populares

tan(x)+tan(x+45)=-2

tan (x) + tan (x + 4 5^{\circ}) = - 2

tan(x)=(22.5)/(34)

tan (x) = \frac{22.5}{34}

solvefor y,arccot(y)=ln(sin^2(3x))-e^x resolver para

y, arccot (y) = ln (sin^{2} (3 x)) - e^{x}

tan^2(4x)=0

tan^{2} (4 x) = 0

cos(x/2)=-0.4

cos (\frac{x}{2}) = - 0.4