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Beliebt Trigonometrie >

cosh(x-1)=2

Lösung

cosh (x - 1) = 2

Lösung

x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

Grad

x = 132.75190 \dots^{\circ}, x = - 18.16034 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

cosh (x - 1) = 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (x - 1) = 2

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2 : x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2

Vereinfache

e^{x - 1} + e^{- (x - 1)} = 4

Wende Exponentenregel an

e^{x - 1} + e^{- (x - 1)} = 4

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{x - 1} = e^{x} e^{- 1}, e^{- (x - 1)} = e^{- 1 x} e^{1}

e^{x} e^{- 1} + e^{- 1 \cdot x} e^{1} = 4

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- 1 x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} e^{- 1} + (e^{x})^{- 1} e^{1} = 4

e^{x} e^{- 1} + (e^{x})^{- 1} e^{1} = 4

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u e^{- 1} + (u)^{- 1} e^{1} = 4

Löse

u e^{- 1} + u^{- 1} e^{1} = 4 : u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u e^{- 1} + u^{- 1} e^{1} = 4

Fasse zusammen

\frac{1}{e} u + \frac{e}{u} = 4

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

\frac{1}{e} u + \frac{e}{u} = 4

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

e, u : e u

e, u

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

e

oder

u

auftauchen.

= e u

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

e u

\frac{1}{e} u e u + \frac{e}{u} e u = 4 e u

Vereinfache

\frac{1}{e} u e u + \frac{e}{u} e u = 4 e u

Vereinfache

\frac{1}{e} u e u : u^{2}

\frac{1}{e} u e u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= \frac{1}{e} e u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{1}{e} e u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 e}{e} u^{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

e

= u^{2} \cdot 1

Multipliziere:

u^{2} \cdot 1 = u^{2}

= u^{2}

Vereinfache

\frac{e}{u} e u : e^{2}

\frac{e}{u} e u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{ee u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= ee

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= e^{2}

u^{2} + e^{2} = 4 e u

u^{2} + e^{2} = 4 e u

u^{2} + e^{2} = 4 e u

Löse

u^{2} + e^{2} = 4 e u : u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u^{2} + e^{2} = 4 e u

Verschiebe

4 e u

auf die linke Seite

u^{2} + e^{2} = 4 e u

Subtrahiere

4 e u

von beiden Seiten

u^{2} + e^{2} - 4 e u = 4 e u - 4 e u

Vereinfache

u^{2} + e^{2} - 4 e u = 0

u^{2} + e^{2} - 4 e u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 4 e u + e^{2} = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 e u + e^{2} = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4 e, c = e^{2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 e ) \pm ( - 4 e ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e ^{2}}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 e ) \pm ( - 4 e ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e ^{2}}{2 \cdot 1}

(- 4 e)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e^{2} = 23 e

(- 4 e)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e^{2}

(- 4 e)^{2} = 4^{2} e^{2}

(- 4 e)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4 e)^{2} = (4 e)^{2}

= (4 e)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} e^{2}

4 \cdot 1 \cdot e^{2} = 4 e^{2}

4 \cdot 1 \cdot e^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 e^{2}

= 4^{2} e^{2} - 4 e^{2}

4^{2} = 16

= 16 e^{2} - 4 e^{2}

Addiere gleiche Elemente:

16 e^{2} - 4 e^{2} = 12 e^{2}

= 12 e^{2}

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b,

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= 12 e^{2}

12 = 23

12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

= 23 e^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

e^{2} = e

= 23 e

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 e ) \pm 2 3 e}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 e ) + 2 3 e}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 e ) - 2 3 e}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 e ) + 2 3 e}{2 \cdot 1} : e (2 + 3)

\frac{- ( - 4 e ) + 2 3 e}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 e + 2 3 e}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 e + 2 3 e}{2}

Faktorisiere

4 e + 23 e : 2 e (2 + 3)

4 e + 23 e

Schreibe um

= 2 \cdot 2 e + 2 e 3

Klammere gleiche Terme aus

2 e

= 2 e (2 + 3)

= \frac{2 e ( 2 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= e (2 + 3)

u = \frac{- ( - 4 e ) - 2 3 e}{2 \cdot 1} : e (2 - 3)

\frac{- ( - 4 e ) - 2 3 e}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 e - 2 3 e}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 e - 2 3 e}{2}

Faktorisiere

4 e - 23 e : 2 e (2 - 3)

4 e - 23 e

Schreibe um

= 2 \cdot 2 e - 2 e 3

Klammere gleiche Terme aus

2 e

= 2 e (2 - 3)

= \frac{2 e ( 2 - 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= e (2 - 3)

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u e^{- 1} + u^{- 1} e^{1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = e (2 + 3) : x = ln (e (2 + 3))

e^{x} = e (2 + 3)

Wende Exponentenregel an

e^{x} = e (2 + 3)

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (e (2 + 3))

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (e (2 + 3))

x = ln (e (2 + 3))

Löse

e^{x} = e (2 - 3) : x = ln (e (2 - 3))

e^{x} = e (2 - 3)

Wende Exponentenregel an

e^{x} = e (2 - 3)

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (e (2 - 3))

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (e (2 - 3))

x = ln (e (2 - 3))

x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)= 7/25

tan (x) = \frac{7}{25}

tan(x)=-1,0<x<2pi

tan (x) = - 1, 0 < x < 2 π

sec^2(x)-2=tan^2(x),0<= x<= 2pi

sec^{2} (x) - 2 = tan^{2} (x), 0 \leq x \leq 2 π

4cos(x)-3cos(x)-1=0

4 cos (x) - 3 cos (x) - 1 = 0

3sin(60-(3x)/4)=5sin((3x)/4-30)

3 sin (6 0^{\circ} - \frac{3 x}{4}) = 5 sin (\frac{3 x}{4} - 3 0^{\circ})