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Popular >

cot(x)-csc(x)=sqrt(3)

Solución

cot (x) - csc (x) = 3

Solución

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cot (x) - csc (x) = 3

Restar

3

de ambos lados

cot (x) - csc (x) - 3 = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} - 3 = 0

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} - 3 : \frac{cos ( x ) - 1 - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} - 3

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{cos ( x ) - 1}{sin ( x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) - 1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) - 1}{sin ( x )} - 3

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) - 1}{sin ( x )} - \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) - 1 - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{cos ( x ) - 1 - 3 sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - 1 - 3 sin (x) = 0

Sumar

3 sin (x)

a ambos lados

cos (x) - 1 = 3 sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(cos (x) - 1)^{2} = (3 sin (x))^{2}

Restar

(3 sin (x))^{2}

de ambos lados

(cos (x) - 1)^{2} - 3 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(- 1 + cos (x))^{2} - 3 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (- 1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

(- 1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

(- 1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

(- 1 + cos (x))^{2} : 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = cos (x)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x)

Simplificar

(- 1)^{2} + 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x) : 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) cos (x) + cos^{2} (x)

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

- 3 (1 - cos^{2} (x)) : - 3 + 3 cos^{2} (x)

- 3 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Simplificar

1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x) : 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 2 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) + 1 - 3

Sumar elementos similares:

cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) + 1 - 3

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 3 = - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2

- 2 - 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 - 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Sumar:

4 + 32 = 36

= 36

Descomponer el número en factores primos:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Sumar:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Restar:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluciones generales para

cos (x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cot (x) - csc (x) = 3

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

2 πn :

Falso

2 πn

Sustituir

n = 1

2 π 1

Multiplicar

cot (x) - csc (x) = 3

por

x = 2 π 1

cot (2 π 1) - csc (2 π 1) = 3

Sin definir

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

cot (x) - csc (x) = 3

por

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

cot (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) - csc (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 3

Simplificar

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Verdadero

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

cot (x) - csc (x) = 3

por

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

cot (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - csc (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 3

Simplificar

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

-4sin(x)=-cos^2(x)+4,0<= x<2pi

- 4 sin (x) = - cos^{2} (x) + 4, 0 \leq x < 2 π

cos(x)=(sqrt(3))/(sqrt(2))

cos (x) = \frac{3}{2}

sin(θ)=-(sqrt(3))/2 ,0<= θ<2pi

sin (θ) = - \frac{3}{2}, 0 \leq θ < 2 π

sin(x)=7938894612

sin (x) = 7938894612

3sin(2θ)=5cos(θ)

3 sin (2 θ) = 5 cos (θ)