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3sin(2θ)=5cos(θ)

Lösung

3 sin (2 θ) = 5 cos (θ)

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.98511 \dots + 2 πn, θ = π - 0.98511 \dots + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 56.44269 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 123.55730 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (2 θ) = 5 cos (θ)

Subtrahiere

5 cos (θ)

von beiden Seiten

3 sin (2 θ) - 5 cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 sin (2 θ) - 5 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 3 \cdot 2 sin (θ) cos (θ) - 5 cos (θ)

Vereinfache

= 6 sin (θ) cos (θ) - 5 cos (θ)

- 5 cos (θ) + 6 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- 5 cos (θ) + 6 cos (θ) sin (θ) : cos (θ) (6 sin (θ) - 5)

- 5 cos (θ) + 6 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

cos (θ)

= cos (θ) (- 5 + 6 sin (θ))

cos (θ) (6 sin (θ) - 5) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (θ) = 0 or 6 sin (θ) - 5 = 0

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

6 sin (θ) - 5 = 0 : θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

6 sin (θ) - 5 = 0

Verschiebe

5

auf die rechte Seite

6 sin (θ) - 5 = 0

Füge

5

zu beiden Seiten hinzu

6 sin (θ) - 5 + 5 = 0 + 5

Vereinfache

6 sin (θ) = 5

6 sin (θ) = 5

Teile beide Seiten durch

6

6 sin (θ) = 5

Teile beide Seiten durch

6

\frac{6 sin ( θ )}{6} = \frac{5}{6}

Vereinfache

sin (θ) = \frac{5}{6}

sin (θ) = \frac{5}{6}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{5}{6}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{5}{6}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.98511 \dots + 2 πn, θ = π - 0.98511 \dots + 2 πn

3 sec (x) = 6

6 = 6 sin (2 π (47) t), 0 < t < 0.0212

0.25 \cdot cos (x) = - 0.249

cos (x) sin (x) cos (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (θ) = 1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})