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5cos(x)-3sin(x)=4

Lösung

5 cos (x) - 3 sin (x) = 4

Lösung

x = - 1.35524 \dots + 2 πn, x = 0.27440 \dots + 2 πn

Grad

x = - 77.64989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15.72238 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) - 3 sin (x) = 4

Füge

3 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

5 cos (x) = 4 + 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(5 cos (x))^{2} = (4 + 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(4 + 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

25 cos^{2} (x) - 16 - 24 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - 24 sin (x) + 25 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 16 - 24 sin (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 16 - 24 sin (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x) : - 34 sin^{2} (x) - 24 sin (x) + 9

- 16 - 24 sin (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

25 (1 - sin^{2} (x)) : 25 - 25 sin^{2} (x)

25 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 sin^{2} (x)

= - 16 - 24 sin (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 16 - 24 sin (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) : - 34 sin^{2} (x) - 24 sin (x) + 9

- 16 - 24 sin (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 25 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 34 sin^{2} (x)

= - 16 - 24 sin (x) + 25 - 34 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 24 sin (x) - 34 sin^{2} (x) - 16 + 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 25 = 9

= - 34 sin^{2} (x) - 24 sin (x) + 9

= - 34 sin^{2} (x) - 24 sin (x) + 9

= - 34 sin^{2} (x) - 24 sin (x) + 9

9 - 24 sin (x) - 34 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

9 - 24 sin (x) - 34 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

9 - 24 u - 34 u^{2} = 0

9 - 24 u - 34 u^{2} = 0 : u = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}, u = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

9 - 24 u - 34 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 34 u^{2} - 24 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 34 u^{2} - 24 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 34, b = - 24, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 34 ) \cdot 9}{2 ( - 34 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 34 ) \cdot 9}{2 ( - 34 )}

(- 24)^{2} - 4 (- 34) \cdot 9 = 302

(- 24)^{2} - 4 (- 34) \cdot 9

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 24)^{2} + 4 \cdot 34 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} + 4 \cdot 34 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 34 \cdot 9 = 1224

= 2 4^{2} + 1224

2 4^{2} = 576

= 576 + 1224

Addiere die Zahlen:

576 + 1224 = 1800

= 1800

Primfaktorzerlegung von

1800 : 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

1800

1800

ist durch

21800 = 900 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 900

900

ist durch

2900 = 450 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 450

450

ist durch

2450 = 225 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 225

225

ist durch

3225 = 75 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 75

75

ist durch

375 = 25 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

= 2 2^{2} 3^{2} 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 22 3^{2} 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

5^{2} = 5

= 2 \cdot 3 \cdot 52

Fasse zusammen

= 302

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 30 2}{2 ( - 34 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 30 2}{2 ( - 34 )}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 30 2}{2 ( - 34 )}

u = \frac{- ( - 24 ) + 30 2}{2 ( - 34 )} : - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

\frac{- ( - 24 ) + 30 2}{2 ( - 34 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 + 30 2}{- 2 \cdot 34}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{24 + 30 2}{- 68}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24 + 30 2}{68}

Streiche

\frac{24 + 30 2}{68} : \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

\frac{24 + 30 2}{68}

Faktorisiere

24 + 302 : 6 (4 + 52)

24 + 302

Schreibe um

= 6 \cdot 4 + 6 \cdot 52

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (4 + 52)

= \frac{6 ( 4 + 5 2 )}{68}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

= - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

u = \frac{- ( - 24 ) - 30 2}{2 ( - 34 )} : \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

\frac{- ( - 24 ) - 30 2}{2 ( - 34 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 - 30 2}{- 2 \cdot 34}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{24 - 30 2}{- 68}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

24 - 302 = - (302 - 24)

= \frac{30 2 - 24}{68}

Faktorisiere

302 - 24 : 6 (52 - 4)

302 - 24

Schreibe um

= 6 \cdot 52 - 6 \cdot 4

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (52 - 4)

= \frac{6 ( 5 2 - 4 )}{68}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}, u = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}, sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}, sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34} : x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34} : x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 cos (x) - 3 sin (x) = 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

5 cos (x) - 3 sin (x) = 4

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

5 cos (x) - 3 sin (x) = 4

ein, um zu lösen

5 cos (π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) - 3 sin (π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

1.86115 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

5 cos (x) - 3 sin (x) = 4

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

5 cos (x) - 3 sin (x) = 4

ein, um zu lösen

5 cos (π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) - 3 sin (π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

- 5.62585 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 1.35524 \dots + 2 πn, x = 0.27440 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

14.79m=((7.61_{0}^2sin(2θ_{0}))/g)

14.79 m = (\frac{7.6 1 _{0}^{2} sin ( 2 θ _{0} )}{g})

2cos(x)+3cos(x)-2=0

2 cos (x) + 3 cos (x) - 2 = 0

sec((5θ)/4)=2,[0.2pi]

sec (\frac{5 θ}{4}) = 2, [0.2 π]

cos(x)+|cos(x)|=1,-2pi<= x<= 2pi

cos (x) + ∣ cos (x) ∣ = 1, - 2 π \leq x \leq 2 π

(30.56)/(sin(88))=(17)/(sin(x))

\frac{30.56}{sin ( 8 8 ^{\circ} )} = \frac{17}{sin ( x )}