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3tan(2x)-3cot(x)=0

Solución

3 tan (2 x) - 3 cot (x) = 0

Solución

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 tan (2 x) - 3 cot (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 3 cot (x) + 3 tan (2 x)

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

tan (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Factorizar

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} : \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Factorizar

1 - tan^{2} (x) : (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

1 - tan^{2} (x)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - tan^{2} (x) = (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= - 3 cot (x) + 3 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

3 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} = \frac{6 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

3 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( x ) \cdot 3}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= - 3 cot (x) + \frac{6 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

= \frac{6 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 3 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Simplificar

\frac{6 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 3 \cdot \frac{1}{tan ( x )} : - \frac{9 tan ^{2} ( x ) - 3}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

\frac{6 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 3 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

3 \cdot \frac{1}{tan ( x )} = \frac{3}{tan ( x )}

3 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{tan ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{tan ( x )}

= \frac{6 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )} - \frac{3}{tan ( x )}

Factorizar

(1 + tan (x)) (1 - tan (x)) : - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

(1 + tan (x)) (1 - tan (x))

Factorizar

1 - tan (x) : - (tan (x) - 1)

1 - tan (x)

Factorizar el termino común

- 1

= - (tan (x) - 1)

= - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

= \frac{6 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{3}{tan ( x )}

Mínimo común múltiplo de

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x) : - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

tan (x)

= - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{6 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

tan (x)

\frac{6 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} = \frac{6 tan ( x ) tan ( x )}{( - ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 ) ) tan ( x )} = \frac{6 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Para

\frac{3}{tan ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

- (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

\frac{3}{tan ( x )} = \frac{3 ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{tan ( x ) ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )} = \frac{- 3 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= \frac{6 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{- 3 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{6 tan ^{2} ( x ) - ( - 3 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Simplificar

= - \frac{6 tan ^{2} ( x ) + 3 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Expandir

6 tan^{2} (x) + 3 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 9 tan^{2} (x) - 3

6 tan^{2} (x) + 3 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Expandir

3 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 3 tan^{2} (x) - 3

Expandir

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : tan^{2} (x) - 1

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = tan (x), b = 1

= tan^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= tan^{2} (x) - 1

= 3 (tan^{2} (x) - 1)

Expandir

3 (tan^{2} (x) - 1) : 3 tan^{2} (x) - 3

3 (tan^{2} (x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = tan^{2} (x), c = 1

= 3 tan^{2} (x) - 3 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 tan^{2} (x) - 3

= 3 tan^{2} (x) - 3

= 6 tan^{2} (x) + 3 tan^{2} (x) - 3

Sumar elementos similares:

6 tan^{2} (x) + 3 tan^{2} (x) = 9 tan^{2} (x)

= 9 tan^{2} (x) - 3

= - \frac{9 tan ^{2} ( x ) - 3}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= - \frac{9 tan ^{2} ( x ) - 3}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

- \frac{- 3 + 9 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Usando el método de sustitución

- \frac{- 3 + 9 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Sea:

tan (x) = u

- \frac{- 3 + 9 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

- \frac{- 3 + 9 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- \frac{- 3 + 9 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 3 + 9 u^{2} = 0

Resolver

- 3 + 9 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- 3 + 9 u^{2} = 0

Mover

3

al lado derecho

- 3 + 9 u^{2} = 0

Sumar

3

a ambos lados

- 3 + 9 u^{2} + 3 = 0 + 3

Simplificar

9 u^{2} = 3

9 u^{2} = 3

Dividir ambos lados entre

9

9 u^{2} = 3

Dividir ambos lados entre

9

\frac{9 u ^{2}}{9} = \frac{3}{9}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1, u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- \frac{- 3 + 9 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u}

y comparar con cero

Resolver

(- 1 + u) (1 + u) u = 0 : u = 1, u = - 1, u = 0

(- 1 + u) (1 + u) u = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

- 1 + u = 0 or 1 + u = 0 or u = 0

Resolver

- 1 + u = 0 : u = 1

- 1 + u = 0

Mover

1

al lado derecho

- 1 + u = 0

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + u + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

1 + u = 0 : u = - 1

1 + u = 0

Mover

1

al lado derecho

1 + u = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + u - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Las soluciones son

u = 1, u = - 1, u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1, u = - 1, u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3} : x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = \frac{1}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = \frac{1}{3}

Soluciones generales para

tan (x) = \frac{1}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3} : x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = - \frac{1}{3}

Soluciones generales para

tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Combinar toda las soluciones

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn, x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Ejemplos populares

cos(θ)=(1/4)

cos (θ) = (\frac{1}{4})

-cos^2(x)=sin(x)+1

- cos^{2} (x) = sin (x) + 1

(36)/(sin(110))=(15)/(sin(x))

\frac{36}{sin ( 11 0 ^{\circ} )} = \frac{15}{sin ( x )}

6sin(x/2)+6cos(x)=0

6 sin (\frac{x}{2}) + 6 cos (x) = 0

cos(x)=0.925

cos (x) = 0.925