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Beliebt Trigonometrie >

6cos(x)+3sin(x)=5

Lösung

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

Lösung

x = - 0.26608 \dots + 2 πn, x = 1.19337 \dots + 2 πn

Grad

x = - 15.24526 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 68.37536 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

Subtrahiere

3 sin (x)

von beiden Seiten

6 cos (x) = 5 - 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(6 cos (x))^{2} = (5 - 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(5 - 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

36 cos^{2} (x) - 25 + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 25 + 30 sin (x) + 36 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x) : 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

- 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

36 (1 - sin^{2} (x)) : 36 - 36 sin^{2} (x)

36 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) : 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

- 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 45 sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 - 45 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) - 25 + 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 25 + 36 = 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

11 + 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

11 + 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, u = \frac{5 + 4 5}{15}

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 45 u^{2} + 30 u + 11 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 45 u^{2} + 30 u + 11 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 45, b = 30, c = 11

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 45 ) \cdot 11}{2 ( - 45 )}

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 45 ) \cdot 11}{2 ( - 45 )}

3 0^{2} - 4 (- 45) \cdot 11 = 245

3 0^{2} - 4 (- 45) \cdot 11

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3 0^{2} + 4 \cdot 45 \cdot 11

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 45 \cdot 11 = 1980

= 3 0^{2} + 1980

3 0^{2} = 900

= 900 + 1980

Addiere die Zahlen:

900 + 1980 = 2880

= 2880

Primfaktorzerlegung von

2880 : 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

2880

2880

ist durch

22880 = 1440 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 1440

1440

ist durch

21440 = 720 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 720

720

ist durch

2720 = 360 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 360

360

ist durch

2360 = 180 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 180

180

ist durch

2180 = 90 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 90

90

ist durch

290 = 45 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45

45

ist durch

345 = 15 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15

15

ist durch

315 = 5 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{6} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 35

Fasse zusammen

= 245

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 24 5}{2 ( - 45 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )}, u_{2} = \frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )}

u = \frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )} : - \frac{- 5 + 4 5}{15}

\frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 30 + 24 5}{- 2 \cdot 45}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 30 + 24 5}{- 90}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 30 + 24 5}{90}

Streiche

\frac{- 30 + 24 5}{90} : \frac{4 5 - 5}{15}

\frac{- 30 + 24 5}{90}

Faktorisiere

- 30 + 245 : 6 (- 5 + 45)

- 30 + 245

Schreibe um

= - 6 \cdot 5 + 6 \cdot 45

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (- 5 + 45)

= \frac{6 ( - 5 + 4 5 )}{90}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{- 5 + 4 5}{15}

= - \frac{4 5 - 5}{15}

= - \frac{- 5 + 4 5}{15}

u = \frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )} : \frac{5 + 4 5}{15}

\frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 30 - 24 5}{- 2 \cdot 45}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 45 = 90

= \frac{- 30 - 24 5}{- 90}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 30 - 245 = - (30 + 245)

= \frac{30 + 24 5}{90}

Faktorisiere

30 + 245 : 6 (5 + 45)

30 + 245

Schreibe um

= 6 \cdot 5 + 6 \cdot 45

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (5 + 45)

= \frac{6 ( 5 + 4 5 )}{90}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{5 + 4 5}{15}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, u = \frac{5 + 4 5}{15}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15} : x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15} : x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

6 cos (arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

5 = 5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

6 cos (π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

- 6.57770 \dots = 5

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

6 cos (arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

5 = 5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

6 cos (π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

0.57770 \dots = 5

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.26608 \dots + 2 πn, x = 1.19337 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(2sin(x)-1)cos(x)=0

(2 sin (x) - 1) cos (x) = 0

sin(2x)+cos(x)=0,x<= 2pi,0

sin (2 x) + cos (x) = 0, x \leq 2 π, 0

6sin(x)=5cos(x)

6 sin (x) = 5 cos (x)

sin(θ)=(-3)/4

sin (θ) = \frac{- 3}{4}

2csc(θ)+3sec(θ)=0

2 csc (θ) + 3 sec (θ) = 0