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cos(2x)=8-15sin(x)

Solución

cos (2 x) = 8 - 15 sin (x)

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 x) = 8 - 15 sin (x)

Restar

8 - 15 sin (x)

de ambos lados

cos (2 x) - 8 + 15 sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 8 + cos (2 x) + 15 sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 8 + 1 - 2 sin^{2} (x) + 15 sin (x)

Simplificar

= 15 sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 7

- 7 + 15 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 7 + 15 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 7 + 15 u - 2 u^{2} = 0

- 7 + 15 u - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = 7

- 7 + 15 u - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 15 u - 7 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} + 15 u - 7 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 15, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- 15 \pm 1 5 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 7 )}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 15 \pm 1 5 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 7 )}{2 ( - 2 )}

1 5^{2} - 4 (- 2) (- 7) = 13

1 5^{2} - 4 (- 2) (- 7)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 7 = 56

= 1 5^{2} - 56

1 5^{2} = 225

= 225 - 56

Restar:

225 - 56 = 169

= 169

Descomponer el número en factores primos:

169 = 1 3^{2}

= 1 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 3^{2} = 13

= 13

u_{1, 2} = \frac{- 15 \pm 13}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 15 + 13}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 15 - 13}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 15 + 13}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 15 + 13}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 15 + 13}{- 2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 15 + 13 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 15 - 13}{2 ( - 2 )} : 7

\frac{- 15 - 13}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 15 - 13}{- 2 \cdot 2}

Restar:

- 15 - 13 = - 28

= \frac{- 28}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 28}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{28}{4}

Dividir:

\frac{28}{4} = 7

= 7

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2}, u = 7

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = 7

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = 7

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 7 :

Sin solución

sin (x) = 7

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(4x)=cos(x/2)

sin (4 x) = cos (\frac{x}{2})

solvefor a,cos(a-b)=2 resolver para

a, cos (a - b) = 2

cos(pi/2-x)tan(x)-sec(-x)=1

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

(cot(θ)+csc(θ))/(sec(θ)+1)=sin(θ)

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} = sin (θ)

2=cos^2(x)

2 = cos^{2} (x)