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Beliebt Trigonometrie >

5cos(x)+4-2sin(x)=0

Lösung

5 \cdot cos (x) + 4 - 2 \cdot sin (x) = 0

Lösung

x = 2.02750 \dots + 2 πn, x = - 2.78851 \dots + 2 πn

Grad

x = 116.16747 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 159.77029 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

Füge

2 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

5 cos (x) + 4 = 2 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(5 cos (x) + 4)^{2} = (2 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

(5 cos (x) + 4)^{2} - 4 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(4 + 5 cos (x))^{2} - 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (4 + 5 cos (x))^{2} - 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

(4 + 5 cos (x))^{2} - 4 (1 - cos^{2} (x)) : 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

(4 + 5 cos (x))^{2} - 4 (1 - cos^{2} (x))

(4 + 5 cos (x))^{2} : 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 4, b = 5 cos (x)

= 4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) + (5 cos (x))^{2}

Vereinfache

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) + (5 cos (x))^{2} : 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) + (5 cos (x))^{2}

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x) = 40 cos (x)

2 \cdot 4 \cdot 5 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 \cdot 5 = 40

= 40 cos (x)

(5 cos (x))^{2} = 25 cos^{2} (x)

(5 cos (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 5^{2} cos^{2} (x)

5^{2} = 25

= 25 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

- 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 4 + 4 cos^{2} (x)

- 4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 cos^{2} (x)

= 16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos^{2} (x) : 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

16 + 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 40 cos (x) + 25 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) + 16 - 4

Addiere gleiche Elemente:

25 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = 29 cos^{2} (x)

= 40 cos (x) + 29 cos^{2} (x) + 16 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

16 - 4 = 12

= 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

= 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

= 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 12

12 + 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

12 + 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

12 + 29 u^{2} + 40 u = 0

12 + 29 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, u = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

12 + 29 u^{2} + 40 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

29 u^{2} + 40 u + 12 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

29 u^{2} + 40 u + 12 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 29, b = 40, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12}{2 \cdot 29}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12}{2 \cdot 29}

4 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12 = 413

4 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 29 \cdot 12 = 1392

= 4 0^{2} - 1392

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1392

Subtrahiere die Zahlen:

1600 - 1392 = 208

= 208

Primfaktorzerlegung von

208 : 2^{4} \cdot 13

208

208

ist durch

2208 = 104 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 104

104

ist durch

2104 = 52 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 13

Fasse zusammen

= 413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 13}{2 \cdot 29}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 40 + 4 13}{2 \cdot 29}, u_{2} = \frac{- 40 - 4 13}{2 \cdot 29}

u = \frac{- 40 + 4 13}{2 \cdot 29} : \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

\frac{- 40 + 4 13}{2 \cdot 29}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 + 4 13}{58}

Faktorisiere

- 40 + 413 : 4 (- 10 + 13)

- 40 + 413

Schreibe um

= - 4 \cdot 10 + 413

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 10 + 13)

= \frac{4 ( - 10 + 13 )}{58}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

u = \frac{- 40 - 4 13}{2 \cdot 29} : - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

\frac{- 40 - 4 13}{2 \cdot 29}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 - 4 13}{58}

Faktorisiere

- 40 - 413 : - 4 (10 + 13)

- 40 - 413

Schreibe um

= - 4 \cdot 10 - 413

Klammere gleiche Terme aus

4

= - 4 (10 + 13)

= - \frac{4 ( 10 + 13 )}{58}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, u = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}, cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 13 - 10 )}{29}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29} : x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

ein, um zu lösen

5 cos (arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

ein, um zu lösen

5 cos (- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (- arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

3.59003 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

ein, um zu lösen

5 cos (arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

- 1.38313 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

5 cos (x) + 4 - 2 sin (x) = 0

ein, um zu lösen

5 cos (- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 4 - 2 sin (- arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

x = arccos (\frac{2 ( 13 - 10 )}{29}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.02750 \dots + 2 πn, x = - 2.78851 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=-0.54

sin (x) = - 0.54

tan(2θ)=1.82

tan (2 θ) = 1.82

sin(x)=-0.65

sin (x) = - 0.65

sin(x)=-0.71

sin (x) = - 0.71

sin(x)=-0.98

sin (x) = - 0.98

5*cos(x)+4-2*sin(x)=0

Lösung

Lösung

Graph

Beliebte Beispiele

5cos(x)+4-2sin(x)=0