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Beliebt Trigonometrie >

cosh(x)= 3/(sqrt(8))

Lösung

cosh (x) = \frac{3}{8}

Lösung

x = \frac{1}{2} ln (2), x = - \frac{1}{2} ln (2)

Grad

x = 19.85720 \dots^{\circ}, x = - 19.85720 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

cosh (x) = \frac{3}{8}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (x) = \frac{3}{8}

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = \frac{3}{8}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = \frac{3}{8}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = \frac{3}{8} : x = \frac{1}{2} ln (2), x = - \frac{1}{2} ln (2)

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = \frac{3}{8}

Wende Exponentenregel an

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = \frac{3}{8}

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{8} = 8^{- \frac{1}{2}}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 3 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 3 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 8^{- \frac{1}{2}} \cdot 2

Vereinfache

3 \cdot 8^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 : \frac{3}{2}

3 \cdot 8^{- \frac{1}{2}} \cdot 2

8^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 2}

8^{- \frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{1}{8}

8 = 22

8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= \frac{1}{2 2}

= 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2 2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{2 2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 \cdot 3}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{2}

e^{x} + e^{- x} = \frac{3}{2}

Wende Exponentenregel an

e^{x} + e^{- x} = \frac{3}{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = \frac{3}{2}

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = \frac{3}{2}

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u + (u)^{- 1} = \frac{3}{2}

Löse

u + u^{- 1} = \frac{3}{2} : u = 2, u = \frac{1}{2}

u + u^{- 1} = \frac{3}{2}

Fasse zusammen

u + \frac{1}{u} = \frac{3}{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

u + \frac{1}{u} = \frac{3}{2}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

u, 2 : 2 u

u, 2

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

u

oder

2

auftauchen.

= 2 u

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

2 u

u 2 u + \frac{1}{u} 2 u = \frac{3}{2} 2 u

Vereinfache

u 2 u + \frac{1}{u} 2 u = \frac{3}{2} 2 u

Vereinfache

u 2 u : 2 u^{2}

u 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 2 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u} 2 u : 2

\frac{1}{u} 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1 \cdot 2

Multipliziere:

1 \cdot 2 = 2

= 2

Vereinfache

\frac{3}{2} 2 u : 3 u

\frac{3}{2} 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 2}{2} u

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u \cdot 3

2 u^{2} + 2 = 3 u

2 u^{2} + 2 = 3 u

2 u^{2} + 2 = 3 u

Löse

2 u^{2} + 2 = 3 u : u = 2, u = \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 = 3 u

Verschiebe

3 u

auf die linke Seite

2 u^{2} + 2 = 3 u

Subtrahiere

3 u

von beiden Seiten

2 u^{2} + 2 - 3 u = 3 u - 3 u

Vereinfache

2 u^{2} + 2 - 3 u = 0

2 u^{2} + 2 - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 2 2}{2 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 2 2}{2 2}

(- 3)^{2} - 422 = 1

(- 3)^{2} - 422

(- 3)^{2} = 3^{2}

(- 3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2}

422 = 8

422

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 8 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 2} : 2

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 2}

Addiere die Zahlen:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 2}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = \frac{1}{2}

u = 2, u = \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2, u = \frac{1}{2}

u = 2, u = \frac{1}{2}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 2 : x = \frac{1}{2} ln (2)

e^{x} = 2

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 2

Wende Exponentenregel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

e^{x} = 2^{\frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} ln (2)

x = \frac{1}{2} ln (2)

x = \frac{1}{2} ln (2)

Löse

e^{x} = \frac{1}{2} : x = - \frac{1}{2} ln (2)

e^{x} = \frac{1}{2}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{1}{2}

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{2} = 2^{- \frac{1}{2}}

e^{x} = 2^{- \frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2^{- \frac{1}{2}} = 2^{- \frac{1}{2}}

e^{x} = 2^{- \frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2^{- \frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2^{- \frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{- \frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2} ln (2)

x = - \frac{1}{2} ln (2)

x = - \frac{1}{2} ln (2)

x = \frac{1}{2} ln (2), x = - \frac{1}{2} ln (2)

x = \frac{1}{2} ln (2), x = - \frac{1}{2} ln (2)

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)= 11/61

cos (x) = \frac{11}{61}

-1=sec(x)

- 1 = sec (x)

tan(x)= 59/36

tan (x) = \frac{59}{36}

sqrt(3)csc(θ)+2=0,0<= θ<= 2pi

3 csc (θ) + 2 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

2cos^2(x)-cos(x)=3

2 cos^{2} (x) - cos (x) = 3