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Beliebt Trigonometrie >

arctan(4-2x)=arctan(2x)

Lösung

arctan (4 - 2 x) = arctan (2 x)

Lösung

x = 1

Schritte zur Lösung

arctan (4 - 2 x) = arctan (2 x)

Subtrahiere

arctan (2 x)

von beiden Seiten

arctan (4 - 2 x) - arctan (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (4 - 2 x) - arctan (2 x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= arctan (\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x})

arctan (\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x}) = 0

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x}) = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 0

= 0

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x} = 0

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x} = 0

Löse

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x} = 0 : x = 1

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x} = 0

Vereinfache

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x} : \frac{4 - 4 x}{1 + 2 x ( 4 - 2 x )}

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 x - 2 x = - 4 x

= \frac{4 - 4 x}{1 + 2 x ( - 2 x + 4 )}

\frac{4 - 4 x}{1 + 2 x ( 4 - 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 - 4 x = 0

Verschiebe

4

auf die rechte Seite

4 - 4 x = 0

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

4 - 4 x - 4 = 0 - 4

Vereinfache

- 4 x = - 4

- 4 x = - 4

Teile beide Seiten durch

- 4

- 4 x = - 4

Teile beide Seiten durch

- 4

\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}

Vereinfache

x = 1

x = 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

x = - \frac{- 2 + 5}{2}, x = \frac{2 + 5}{2}

Nimm den/die Nenner von

\frac{4 - 2 x - 2 x}{1 + ( 4 - 2 x ) \cdot 2 x}

und vergleiche mit Null

Löse

1 + (4 - 2 x) \cdot 2 x = 0 : x = - \frac{- 2 + 5}{2}, x = \frac{2 + 5}{2}

1 + (4 - 2 x) \cdot 2 x = 0

Schreibe

1 + (4 - 2 x) \cdot 2 x

um:

1 + 8 x - 4 x^{2}

1 + (4 - 2 x) \cdot 2 x

= 1 + 2 x (4 - 2 x)

Multipliziere aus

2 x (4 - 2 x) : 8 x - 4 x^{2}

2 x (4 - 2 x)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 x, b = 4, c = 2 x

= 2 x \cdot 4 - 2 x \cdot 2 x

= 2 \cdot 4 x - 2 \cdot 2 xx

Vereinfache

2 \cdot 4 x - 2 \cdot 2 xx : 8 x - 4 x^{2}

2 \cdot 4 x - 2 \cdot 2 xx

2 \cdot 4 x = 8 x

2 \cdot 4 x

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= 8 x

2 \cdot 2 xx = 4 x^{2}

2 \cdot 2 xx

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 4 x^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 4 x^{2}

= 8 x - 4 x^{2}

= 8 x - 4 x^{2}

= 1 + 8 x - 4 x^{2}

1 + 8 x - 4 x^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 x^{2} + 8 x + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 x^{2} + 8 x + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 8, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

x_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

8^{2} - 4 (- 4) \cdot 1 = 45

8^{2} - 4 (- 4) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 8^{2} + 16

8^{2} = 64

= 64 + 16

Addiere die Zahlen:

64 + 16 = 80

= 80

Primfaktorzerlegung von

80 : 2^{4} \cdot 5

80

80

ist durch

280 = 40 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 5

Fasse zusammen

= 45

x_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 4 5}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- 8 + 4 5}{2 ( - 4 )}, x_{2} = \frac{- 8 - 4 5}{2 ( - 4 )}

x = \frac{- 8 + 4 5}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 2 + 5}{2}

\frac{- 8 + 4 5}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 4 5}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8 + 4 5}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 8 + 4 5}{8}

Streiche

\frac{- 8 + 4 5}{8} : \frac{5 - 2}{2}

\frac{- 8 + 4 5}{8}

Faktorisiere

- 8 + 45 : 4 (- 2 + 5)

- 8 + 45

Schreibe um

= - 4 \cdot 2 + 45

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 2 + 5)

= \frac{4 ( - 2 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{- 2 + 5}{2}

= - \frac{5 - 2}{2}

= - \frac{- 2 + 5}{2}

x = \frac{- 8 - 4 5}{2 ( - 4 )} : \frac{2 + 5}{2}

\frac{- 8 - 4 5}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 4 5}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8 - 4 5}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 8 - 45 = - (8 + 45)

= \frac{8 + 4 5}{8}

Faktorisiere

8 + 45 : 4 (2 + 5)

8 + 45

Schreibe um

= 4 \cdot 2 + 45

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (2 + 5)

= \frac{4 ( 2 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{2 + 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = - \frac{- 2 + 5}{2}, x = \frac{2 + 5}{2}

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

x = - \frac{- 2 + 5}{2}, x = \frac{2 + 5}{2}

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

x = 1

x = 1

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (4 - 2 x) = arctan (2 x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

1 :

Wahr

1

Setze ein

n = 1

1

Setze

x = 1

arctan (4 - 2 x) = arctan (2 x)

ein, um zu lösen

arctan (4 - 2 \cdot 1) = arctan (2 \cdot 1)

Fasse zusammen

1.10714 \dots = 1.10714 \dots

\Rightarrow Wahr

x = 1

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)=tan(50)

tan (x) = tan (5 0^{\circ})

tan(θ)=3,0<x<2pi

tan (θ) = 3, 0 < x < 2 π

cos(A)+1=4cos(A)+1

cos (A) + 1 = 4 cos (A) + 1

3cos(x)+sqrt(2)=0

3 cos (x) + 2 = 0

sin(θ)=0.7cos(90-θ)

sin (θ) = 0.7 cos (9 0^{\circ} - θ)