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3cos^2(θ)-2sin(θ)=1

Solución

3 cos^{2} (θ) - 2 sin (θ) = 1

Solución

θ = 0.58066 \dots + 2 πn, θ = π - 0.58066 \dots + 2 πn

Grados

θ = 33.26990 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 146.73009 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos^{2} (θ) - 2 sin (θ) = 1

Restar

1

de ambos lados

3 cos^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - 2 sin (θ) + 3 cos^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - 2 sin (θ) + 3 (1 - sin^{2} (θ))

Simplificar

- 1 - 2 sin (θ) + 3 (1 - sin^{2} (θ)) : - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 2

- 1 - 2 sin (θ) + 3 (1 - sin^{2} (θ))

Expandir

3 (1 - sin^{2} (θ)) : 3 - 3 sin^{2} (θ)

3 (1 - sin^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (θ)

= - 1 - 2 sin (θ) + 3 - 3 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 1 - 2 sin (θ) + 3 - 3 sin^{2} (θ) : - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 2

- 1 - 2 sin (θ) + 3 - 3 sin^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 2 sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) - 1 + 3

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 3 = 2

= - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 2

= - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 2

= - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 2

2 - 2 sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

2 - 2 sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

2 - 2 u - 3 u^{2} = 0

2 - 2 u - 3 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 7}{3}, u = \frac{7 - 1}{3}

2 - 2 u - 3 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - 2 u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 u^{2} - 2 u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = - 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 3) \cdot 2 = 27

(- 2)^{2} - 4 (- 3) \cdot 2

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 2^{2} + 24

2^{2} = 4

= 4 + 24

Sumar:

4 + 24 = 28

= 28

Descomposición en factores primos de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 7 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 27

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 7}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 7}{2 ( - 3 )} : - \frac{1 + 7}{3}

\frac{- ( - 2 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2 + 2 7}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 7}{6}

Cancelar

\frac{2 + 2 7}{6} : \frac{1 + 7}{3}

\frac{2 + 2 7}{6}

Factorizar

2 + 27 : 2 (1 + 7)

2 + 27

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 27

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 7)

= \frac{2 ( 1 + 7 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 + 7}{3}

= - \frac{1 + 7}{3}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 7}{2 ( - 3 )} : \frac{7 - 1}{3}

\frac{- ( - 2 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2 - 2 7}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 27 = - (27 - 2)

= \frac{2 7 - 2}{6}

Factorizar

27 - 2 : 2 (7 - 1)

27 - 2

Reescribir como

= 27 - 2 \cdot 1

Factorizar el termino común

2

= 2 (7 - 1)

= \frac{2 ( 7 - 1 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{7 - 1}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1 + 7}{3}, u = \frac{7 - 1}{3}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{1 + 7}{3}, sin (θ) = \frac{7 - 1}{3}

sin (θ) = - \frac{1 + 7}{3}, sin (θ) = \frac{7 - 1}{3}

sin (θ) = - \frac{1 + 7}{3} :

Sin solución

sin (θ) = - \frac{1 + 7}{3}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (θ) = \frac{7 - 1}{3} : θ = arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{7 - 1}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{7 - 1}{3}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{7 - 1}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7 - 1}{3}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.58066 \dots + 2 πn, θ = π - 0.58066 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

-3cos(2x)+3=5sin(x)

- 3 cos (2 x) + 3 = 5 sin (x)

csc(3x+pi/(12))=2

csc (3 x + \frac{π}{12}) = 2

15=25+2*sqrt(100)*cos(x)

15 = 25 + 2 \cdot 100 \cdot cos (x)

-4sqrt(3)=12tan(θ)

- 43 = 12 tan (θ)

tan(2θ)=2.4

tan (2 θ) = 2.4