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Beliebt Trigonometrie >

3sin^2(θ)=2sin(θ)+3

Lösung

3 sin^{2} (θ) = 2 sin (θ) + 3

Lösung

θ = - 0.80489 \dots + 2 πn, θ = π + 0.80489 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 46.11719 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 226.11719 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin^{2} (θ) = 2 sin (θ) + 3

Löse mit Substitution

3 sin^{2} (θ) = 2 sin (θ) + 3

Angenommen:

sin (θ) = u

3 u^{2} = 2 u + 3

3 u^{2} = 2 u + 3 : u = \frac{1 + 10}{3}, u = \frac{1 - 10}{3}

3 u^{2} = 2 u + 3

Verschiebe

3

auf die linke Seite

3 u^{2} = 2 u + 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

3 u^{2} - 3 = 2 u + 3 - 3

Vereinfache

3 u^{2} - 3 = 2 u

3 u^{2} - 3 = 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

3 u^{2} - 3 = 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

3 u^{2} - 3 - 2 u = 2 u - 2 u

Vereinfache

3 u^{2} - 3 - 2 u = 0

3 u^{2} - 3 - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 3) = 210

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 2^{2} + 36

2^{2} = 4

= 4 + 36

Addiere die Zahlen:

4 + 36 = 40

= 40

Primfaktorzerlegung von

40 : 2^{3} \cdot 5

40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 5

Fasse zusammen

= 210

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 10}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 10}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 10}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 10}{2 \cdot 3} : \frac{1 + 10}{3}

\frac{- ( - 2 ) + 2 10}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 10}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2 + 2 10}{6}

Faktorisiere

2 + 210 : 2 (1 + 10)

2 + 210

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 10)

= \frac{2 ( 1 + 10 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 10}{3}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 10}{2 \cdot 3} : \frac{1 - 10}{3}

\frac{- ( - 2 ) - 2 10}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 10}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2 - 2 10}{6}

Faktorisiere

2 - 210 : 2 (1 - 10)

2 - 210

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 10)

= \frac{2 ( 1 - 10 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 10}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 10}{3}, u = \frac{1 - 10}{3}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1 + 10}{3}, sin (θ) = \frac{1 - 10}{3}

sin (θ) = \frac{1 + 10}{3}, sin (θ) = \frac{1 - 10}{3}

sin (θ) = \frac{1 + 10}{3} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1 + 10}{3}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = \frac{1 - 10}{3} : θ = arcsin (\frac{1 - 10}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 10}{3}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1 - 10}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{1 - 10}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1 - 10}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1 - 10}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 10}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1 - 10}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 10}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{1 - 10}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (- \frac{1 - 10}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 0.80489 \dots + 2 πn, θ = π + 0.80489 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(sin(180)}{20}=\frac{sin(a))/8

\frac{sin ( 18 0 ^{\circ} )}{20} = \frac{sin ( a )}{8}

(sin(x)+cos(x))^2=1^2

(sin (x) + cos (x))^{2} = 1^{2}

tan(4x)=12

tan (4 x) = 12

4csc(B)+5=0

4 csc (B) + 5 = 0

2cos(pi/5 x)=sqrt(3)

2 cos (\frac{π}{5} x) = 3