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Beliebt Trigonometrie >

(tan(2θ))/2 =tan(θ)

Lösung

\frac{tan ( 2 θ )}{2} = tan (θ)

Lösung

θ = πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{tan ( 2 θ )}{2} = tan (θ)

Subtrahiere

tan (θ)

von beiden Seiten

\frac{tan ( 2 θ )}{2} - tan (θ) = 0

Vereinfache

\frac{tan ( 2 θ )}{2} - tan (θ) : \frac{tan ( 2 θ ) - 2 tan ( θ )}{2}

\frac{tan ( 2 θ )}{2} - tan (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) 2}{2}

= \frac{tan ( 2 θ )}{2} - \frac{tan ( θ ) \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( 2 θ ) - tan ( θ ) \cdot 2}{2}

\frac{tan ( 2 θ ) - 2 tan ( θ )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan (2 θ) - 2 tan (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (2 θ) - 2 tan (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - 2 tan (θ)

Vereinfache

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - 2 tan (θ) : \frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - 2 tan (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 tan (θ) = \frac{2 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - \frac{2 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) - 2 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Multipliziere aus

2 tan (θ) - 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : 2 tan^{3} (θ)

2 tan (θ) - 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

- 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 tan (θ), b = 1, c = tan^{2} (θ)

= - 2 tan (θ) \cdot 1 - (- 2 tan (θ)) tan^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 \cdot tan (θ) + 2 tan^{2} (θ) tan (θ)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot tan (θ) + 2 tan^{2} (θ) tan (θ) : - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

- 2 \cdot 1 \cdot tan (θ) + 2 tan^{2} (θ) tan (θ)

2 \cdot 1 \cdot tan (θ) = 2 tan (θ)

2 \cdot 1 \cdot tan (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 tan (θ)

2 tan^{2} (θ) tan (θ) = 2 tan^{3} (θ)

2 tan^{2} (θ) tan (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{2 + 1} (θ)

= 2 tan^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 tan^{3} (θ)

= - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

= - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

= 2 tan (θ) - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

2 tan (θ) - 2 tan (θ) = 0

= 2 tan^{3} (θ)

= \frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Löse mit Substitution

\frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Angenommen:

tan (θ) = u

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 u^{3} = 0

Löse

2 u^{3} = 0 : u = 0

2 u^{3} = 0

Teile beide Seiten durch

2

2 u^{3} = 0

Teile beide Seiten durch

2

2 u^{3} = 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u ^{3}}{2} = \frac{0}{2}

Vereinfache

u^{3} = 0

u^{3} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 1, u = - 1

Nimm den/die Nenner von

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 1, u = - 1

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 0

Setze in

u = tan (θ)

ein

tan (θ) = 0

tan (θ) = 0

tan (θ) = 0 : θ = πn

tan (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

Löse

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(3x)-3cos(3x)+1=0,0<= x<= 180

2 sin^{2} (3 x) - 3 cos (3 x) + 1 = 0, 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

2sin(x/2)=1-cos(x)

2 sin (\frac{x}{2}) = 1 - cos (x)

sin(x)=(-sin(2x))/2

sin (x) = \frac{- sin ( 2 x )}{2}

12sin(A)+4=4sin(A)+4

12 sin (A) + 4 = 4 sin (A) + 4

2sin^2(x)=3-3cos(x)

2 sin^{2} (x) = 3 - 3 cos (x)