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2cos(2x)-cos(x)-1=0

Solution

2 cos (2 x) - cos (x) - 1 = 0

Solution

x = 2 πn, x = 2.41885 \dots + 2 πn, x = - 2.41885 \dots + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 138.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 138.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos (2 x) - cos (x) - 1 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 - cos (x) + 2 cos (2 x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 - cos (x) + 2 (2 cos^{2} (x) - 1)

Simplifier

- 1 - cos (x) + 2 (2 cos^{2} (x) - 1) : 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 1 - cos (x) + 2 (2 cos^{2} (x) - 1)

Développer

2 (2 cos^{2} (x) - 1) : 4 cos^{2} (x) - 2

2 (2 cos^{2} (x) - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 2 \cdot 2 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1

Simplifier

2 \cdot 2 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1 : 4 cos^{2} (x) - 2

2 \cdot 2 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 4 cos^{2} (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) - 2

= - 1 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 2

Simplifier

- 1 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 2 : 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 1 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 2

Grouper comme termes

= - cos (x) + 4 cos^{2} (x) - 1 - 2

Soustraire les nombres :

- 1 - 2 = - 3

= 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

= 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

= 4 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 3 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 3 - cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 3 - u + 4 u^{2} = 0

- 3 - u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{3}{4}

- 3 - u + 4 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - u - 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} - u - 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = - 1, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3) = 7

(- 1)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

4 \cdot 4 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 48

= 1 + 48

Additionner les nombres :

1 + 48 = 49

= 49

Factoriser le nombre :

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 4}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 7}{2 \cdot 4}

Additionner les nombres :

1 + 7 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 4}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 7}{2 \cdot 4}

Soustraire les nombres :

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 6}{8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{3}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 1, u = - \frac{3}{4}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{3}{4}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{3}{4}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{4} : x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{3}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{3}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 2 πn, x = 2.41885 \dots + 2 πn, x = - 2.41885 \dots + 2 πn

Exemples populaires

tan(x)*tan(2x)=1

tan (x) \cdot tan (2 x) = 1

cos(x)cot(x)-3(1-sin(x))=0

cos (x) cot (x) - 3 (1 - sin (x)) = 0

18= 1/2*9*5*sin(θ)

18 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 5 \cdot sin (θ)

sqrt(2)cos^2(x)=cos^2(x)

2 cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

sin((pix)/2)=0

sin (\frac{π x}{2}) = 0