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受欢迎的三角函数 >

tanh(x)+4sech(x)=4

解答

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

解答

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

+1

度数

x = 0^{\circ}, x = 29.26815 \dots^{\circ}

求解步骤

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

使用三角恒等式改写

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

使用双曲函数恒等式:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 sech (x) = 4

使用双曲函数恒等式:

sech (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4 : x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

在两边乘以

e^{x} + e^{- x}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} (e^{x} + e^{- x}) + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} (e^{x} + e^{- x}) = 4 (e^{x} + e^{- x})

化简

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

使用指数运算法则

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

用

e^{x} = u

改写方程式

u - (u)^{- 1} + 8 = 4 (u + (u)^{- 1})

解

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1}) : u = 1, u = \frac{5}{3}

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1})

整理后得

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

在两边乘以

u

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

在两边乘以

u

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

化简

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

化简

uu : u^{2}

uu

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= u^{2}

化简

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

约分:

u

= - 1

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

展开

4 (u + \frac{1}{u}) u : 4 u^{2} + 4

4 (u + \frac{1}{u}) u

= 4 u (u + \frac{1}{u})

使用分配律:

a (b + c) = ab + a c

a = 4 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 u \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

化简

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u : 4 u^{2} + 4

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot \frac{1}{u} u = 4

4 \cdot \frac{1}{u} u

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u}{u}

约分:

u

= 1 \cdot 4

数字相乘:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

将

1

到右边

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

两边加上

1

u^{2} - 1 + 8 u + 1 = 4 u^{2} + 4 + 1

化简

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

解

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5 : u = 1, u = \frac{5}{3}

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

将

5

para o lado esquerdo

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

两边减去

5

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2} + 5 - 5

化简

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

将

4 u^{2}

para o lado esquerdo

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

两边减去

4 u^{2}

u^{2} + 8 u - 5 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

化简

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

使用求根公式求解

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 3, b = 8, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

8^{2} - 4 (- 3) (- 5) = 2

8^{2} - 4 (- 3) (- 5)

使用法则

- (- a) = a

= 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

数字相乘:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

数字相减:

64 - 60 = 4

= 4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 2}{2 ( - 3 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )} : 1

\frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 2}{- 2 \cdot 3}

数字相加/相减:

- 8 + 2 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{- 6}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{6}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )} : \frac{5}{3}

\frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 2}{- 2 \cdot 3}

数字相减:

- 8 - 2 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 10}{- 6}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{6}

约分:

2

= \frac{5}{3}

二次方程组的解是:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

u - u^{- 1} + 8

的分母，令其等于零

u = 0

取

4 (u + u^{- 1})

的分母，令其等于零

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

使用指数运算法则

e^{x} = 1

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

化简

ln (1) : 0

ln (1)

使用对数计算法则:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

解

e^{x} = \frac{5}{3} : x = ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

使用指数运算法则

e^{x} = \frac{5}{3}

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5}{3})

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

验证解:

x = 0

真

, x = ln (\frac{5}{3})

真

将它们代入

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

代入

x = 0 :

真

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}} = 4

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}} = 4

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}}

使用法则

a^{0} = 1, a \neq = 0

e^{0} = 1, e^{- 0} = 1

= \frac{1 - 1}{1 + 1} + 4 \cdot \frac{2}{1 + 1}

\frac{1 - 1}{1 + 1} = 0

\frac{1 - 1}{1 + 1}

数字相减:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= \frac{0}{2}

使用法则

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

4 \cdot \frac{2}{1 + 1} = 4

4 \cdot \frac{2}{1 + 1}

\frac{2}{1 + 1} = 1

\frac{2}{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 4 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 1 = 4

= 4

= 0 + 4

数字相加:

0 + 4 = 4

= 4

4 = 4

真

代入

x = ln (\frac{5}{3}) :

真

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = 4

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = 4

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{8}{17}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

使用指数法则:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

使用指数法则:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

化简

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

3, 5

的最小公倍数:

15

3, 5

最小公倍数 (LCM)

3

质因数分解:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

5

质因数分解:

5

5

5

是质数，因此无法因数分解

= 5

将每个因子乘以它在

3

或

5

中出现的最多次数

= 3 \cdot 5

数字相乘:

3 \cdot 5 = 15

= 15

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

15

对于

\frac{5}{3} :

将分母和分子乘以

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

对于

\frac{3}{5} :

将分母和分子乘以

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

数字相加:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{34}{15}}

化简

\frac{5}{3} - \frac{3}{5} : \frac{16}{15}

\frac{5}{3} - \frac{3}{5}

3, 5

的最小公倍数:

15

3, 5

最小公倍数 (LCM)

3

质因数分解:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

5

质因数分解:

5

5

5

是质数，因此无法因数分解

= 5

将每个因子乘以它在

3

或

5

中出现的最多次数

= 3 \cdot 5

数字相乘:

3 \cdot 5 = 15

= 15

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

15

对于

\frac{5}{3} :

将分母和分子乘以

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

对于

\frac{3}{5} :

将分母和分子乘以

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} - \frac{9}{15}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 - 9}{15}

数字相减:

25 - 9 = 16

= \frac{16}{15}

= \frac{\frac{16}{15}}{\frac{34}{15}}

分式相除:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{16 \cdot 15}{15 \cdot 34}

约分:

15

= \frac{16}{34}

约分:

2

= \frac{8}{17}

4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{60}{17}

4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{15}{17}

\frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

使用指数法则:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{2}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

化简

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

3, 5

的最小公倍数:

15

3, 5

最小公倍数 (LCM)

3

质因数分解:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

5

质因数分解:

5

5

5

是质数，因此无法因数分解

= 5

将每个因子乘以它在

3

或

5

中出现的最多次数

= 3 \cdot 5

数字相乘:

3 \cdot 5 = 15

= 15

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

15

对于

\frac{5}{3} :

将分母和分子乘以

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

对于

\frac{3}{5} :

将分母和分子乘以

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

数字相加:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{2}{\frac{34}{15}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 \cdot 15}{34}

数字相乘:

2 \cdot 15 = 30

= \frac{30}{34}

约分:

2

= \frac{15}{17}

= 4 \cdot \frac{15}{17}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{15 \cdot 4}{17}

数字相乘:

15 \cdot 4 = 60

= \frac{60}{17}

= \frac{8}{17} + \frac{60}{17}

化简

\frac{8}{17} + \frac{60}{17}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{8 + 60}{17}

数字相加:

8 + 60 = 68

= \frac{68}{17}

数字相除:

\frac{68}{17} = 4

= 4

= 4

4 = 4

真

解为

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

作图

流行的例子

36/49+cos^2(θ)=1

\frac{36}{49} + cos^{2} (θ) = 1

sin (x) + \frac{3}{2} = 0

3cos^2(x)+10cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) + 10 cos (x) + 3 = 0

- 1 = sin (k) (45)

-494cos(A)=-241

- 494 cos (A) = - 241