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Popolare Trigonometria >

arctan(3x)+arctan(x)= pi/4

Soluzione

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Soluzione

x = \frac{7 - 2}{3}

Fasi della soluzione

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

arctan (3 x) + arctan (x)

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx})

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Risolvi

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1 : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Semplificare

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} : \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

Aggiungi elementi simili:

3 x + x = 4 x

= \frac{4 x}{1 - 3 xx}

1 - 3 xx = 1 - 3 x^{2}

1 - 3 xx

3 xx = 3 x^{2}

3 xx

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 3 x^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 3 x^{2}

= 1 - 3 x^{2}

= \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Semplificare

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Semplificare

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) : 4 x

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2})

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 x ( 1 - 3 x ^{2} )}{1 - 3 x ^{2}}

Cancella il fattore comune:

1 - 3 x^{2}

= 4 x

Semplificare

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) : 1 - 3 x^{2}

1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Moltiplicare:

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) = (1 - 3 x^{2})

= (1 - 3 x^{2})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Risolvi

4 x = 1 - 3 x^{2} : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Scambia i lati

1 - 3 x^{2} = 4 x

Spostare

4 x

a sinistra dell'equazione

1 - 3 x^{2} = 4 x

Sottrarre

4 x

da entrambi i lati

1 - 3 x^{2} - 4 x = 4 x - 4 x

Semplificare

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 3, b = - 4, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1 = 27

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 4^{2} + 12

4^{2} = 16

= 16 + 12

Aggiungi i numeri:

16 + 12 = 28

= 28

Fattorizzazione prima di

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

diviso per

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

diviso per

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 7}{2 ( - 3 )}

Separare le soluzioni

x_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}, x_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

x = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )} : - \frac{2 + 7}{3}

\frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 2 7}{- 2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 + 2 7}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 2 7}{6}

Cancellare

\frac{4 + 2 7}{6} : \frac{2 + 7}{3}

\frac{4 + 2 7}{6}

Fattorizza

4 + 27 : 2 (2 + 7)

4 + 27

Riscrivi come

= 2 \cdot 2 + 27

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (2 + 7)

= \frac{2 ( 2 + 7 )}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{2 + 7}{3}

= - \frac{2 + 7}{3}

x = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )} : \frac{7 - 2}{3}

\frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 2 7}{- 2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 - 2 7}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 27 = - (27 - 4)

= \frac{2 7 - 4}{6}

Fattorizza

27 - 4 : 2 (7 - 2)

27 - 4

Riscrivi come

= 27 - 2 \cdot 2

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (7 - 2)

= \frac{2 ( 7 - 2 )}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{7 - 2}{3}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - 3 xx = 0 : x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

1 - 3 xx = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - 3 xx = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - 3 xx - 1 = 0 - 1

Semplificare

- 3 xx = - 1

- 3 xx = - 1

Semplificare

- 3 x^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 3

\frac{- 3 x ^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

x^{2} = \frac{1}{3}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

Applicare la regola della radice:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{3}

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

Applicare la regola della radice:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{3}

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{3}

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

I seguenti punti sono non definiti

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Combinare punti non definiti con soluzioni:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

- \frac{2 + 7}{3} :

Falso

- \frac{2 + 7}{3}

Inserire in

n = 1

- \frac{2 + 7}{3}

Per

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

inserisci la

x = - \frac{2 + 7}{3}

arctan (3 (- \frac{2 + 7}{3})) + arctan (- \frac{2 + 7}{3}) = \frac{π}{4}

Affinare

- 2.35619 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{7 - 2}{3} :

Vero

\frac{7 - 2}{3}

Inserire in

n = 1

\frac{7 - 2}{3}

Per

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

inserisci la

x = \frac{7 - 2}{3}

arctan (3 \cdot \frac{7 - 2}{3}) + arctan (\frac{7 - 2}{3}) = \frac{π}{4}

Affinare

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{7 - 2}{3}

Grafico

Esempi popolari

4sin(θ)=sqrt(3)sec(θ),0<= θ<180

4 sin (θ) = 3 sec (θ), 0 \leq θ < 18 0^{\circ}

(sin(82))/(sin(x))=sqrt(5)

\frac{sin ( 8 2 ^{\circ} )}{sin ( x )} = 5

(2cos^2(x))/(2(1-sin(x))-cos^2(x))=0

\frac{2 cos ^{2} ( x )}{2 ( 1 - sin ( x ) ) - cos ^{2} ( x )} = 0

2sin(x)=-3

2 sin (x) = - 3

tan(θ)=(-12)/5 ,cot(θ)

tan (θ) = \frac{- 12}{5}, cot (θ)