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Beliebt Trigonometrie >

4sin(x/2)+4cos(x)=0

Lösung

4 sin (\frac{x}{2}) + 4 cos (x) = 0

Lösung

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn, x = \frac{11 π}{3} + 4 πn, x = π + 4 πn

Grad

x = 42 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 66 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (\frac{x}{2}) + 4 cos (x) = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

4 sin (u) + 4 cos (2 u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 cos (2 u) + 4 sin (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 4 (1 - 2 sin^{2} (u)) + 4 sin (u)

(1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 4 + 4 sin (u) = 0

Löse mit Substitution

(1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 4 + 4 sin (u) = 0

Angenommen:

sin (u) = u

(1 - 2 u^{2}) \cdot 4 + 4 u = 0

(1 - 2 u^{2}) \cdot 4 + 4 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

(1 - 2 u^{2}) \cdot 4 + 4 u = 0

Schreibe

(1 - 2 u^{2}) \cdot 4 + 4 u

um:

4 - 8 u^{2} + 4 u

(1 - 2 u^{2}) \cdot 4 + 4 u

= 4 (1 - 2 u^{2}) + 4 u

Multipliziere aus

4 (1 - 2 u^{2}) : 4 - 8 u^{2}

4 (1 - 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = 2 u^{2}

= 4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 u^{2} : 4 - 8 u^{2}

4 \cdot 1 - 4 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 4 - 8 u^{2}

= 4 - 8 u^{2}

= 4 - 8 u^{2} + 4 u

4 - 8 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} + 4 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 8 u^{2} + 4 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 8, b = 4, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 4}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 4}{2 ( - 8 )}

4^{2} - 4 (- 8) \cdot 4 = 12

4^{2} - 4 (- 8) \cdot 4

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 4 = 128

= 4^{2} + 128

4^{2} = 16

= 16 + 128

Addiere die Zahlen:

16 + 128 = 144

= 144

Faktorisiere die Zahl:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 2^{2} = 12

= 12

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 12}{2 ( - 8 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 12}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 12}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- 4 + 12}{2 ( - 8 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 4 + 12}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 12}{- 2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 12 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 4 - 12}{2 ( - 8 )} : 1

\frac{- 4 - 12}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 12}{- 2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 12 = - 16

= \frac{- 16}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 16}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{16}{16}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = sin (u)

ein

sin (u) = - \frac{1}{2}, sin (u) = 1

sin (u) = - \frac{1}{2}, sin (u) = 1

sin (u) = - \frac{1}{2} : u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (u) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (u) = 1 : u = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (u) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (u) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn, u = \frac{π}{2} + 2 πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 πn : x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{7 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{7 π}{6} = \frac{7 π}{3}

2 \cdot \frac{7 π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 2}{6}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 2 = 14

= \frac{14 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{7 π}{3} + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 πn : x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{11 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{11 π}{6} = \frac{11 π}{3}

2 \cdot \frac{11 π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{11 π 2}{6}

Multipliziere die Zahlen:

11 \cdot 2 = 22

= \frac{22 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{11 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{11 π}{3} + 4 πn

x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn, x = \frac{11 π}{3} + 4 πn, x = π + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ)cos(θ)=cot(θ)

cos (θ) cos (θ) = cot (θ)

3sin(θ)-cos(2θ)=1

3 sin (θ) - cos (2 θ) = 1

sin(θ)= 28/53 ,sin(2θ)

sin (θ) = \frac{28}{53}, sin (2 θ)

arctan(x)=5

arctan (x) = 5^{\circ}

tan(t)=5

tan (t) = 5