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Beliebt Trigonometrie >

2+7cos(θ)=4sin^2(θ),-180<= x<= 180

Lösung

2 + 7 cos (θ) = 4 sin^{2} (θ), - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

Lösung

θ = 1.31811 \dots, θ = - 1.31811 \dots

Schritte zur Lösung

2 + 7 cos (θ) = 4 sin^{2} (θ), - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

Subtrahiere

4 sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

2 + 7 cos (θ) - 4 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 - 4 sin^{2} (θ) + 7 cos (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 - 4 (1 - cos^{2} (θ)) + 7 cos (θ)

Vereinfache

2 - 4 (1 - cos^{2} (θ)) + 7 cos (θ) : 4 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) - 2

2 - 4 (1 - cos^{2} (θ)) + 7 cos (θ)

Multipliziere aus

- 4 (1 - cos^{2} (θ)) : - 4 + 4 cos^{2} (θ)

- 4 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 cos^{2} (θ)

= 2 - 4 + 4 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 4 = - 2

= 4 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) - 2

- 2 + 4 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + 4 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 2 + 4 u^{2} + 7 u = 0

- 2 + 4 u^{2} + 7 u = 0 : u = \frac{1}{4}, u = - 2

- 2 + 4 u^{2} + 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 7, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

7^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 9

7^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 7^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 7^{2} + 32

7^{2} = 49

= 49 + 32

Addiere die Zahlen:

49 + 32 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 9}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 7 + 9}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 7 - 9}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 7 + 9}{2 \cdot 4} : \frac{1}{4}

\frac{- 7 + 9}{2 \cdot 4}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 9 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{4}

u = \frac{- 7 - 9}{2 \cdot 4} : - 2

\frac{- 7 - 9}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

- 7 - 9 = - 16

= \frac{- 16}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 16}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{8}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{8} = 2

= - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4}, u = - 2

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{4}, cos (θ) = - 2

cos (θ) = \frac{1}{4}, cos (θ) = - 2

cos (θ) = \frac{1}{4}, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ} : θ = arccos (\frac{1}{4}), θ = - arccos (\frac{1}{4})

cos (θ) = \frac{1}{4}, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{1}{4}) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{1}{4}) + 36 0^{\circ} n

Lösungen für den Bereich

- 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

θ = arccos (\frac{1}{4}), θ = - arccos (\frac{1}{4})

cos (θ) = - 2, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ} :

Keine Lösung

cos (θ) = - 2, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{1}{4}), θ = - arccos (\frac{1}{4})

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.31811 \dots, θ = - 1.31811 \dots

Graph

Beliebte Beispiele

1=2cos(3θ)

1 = 2 cos (3 θ)

cos(4θ)+cos(2θ)=cos(θ)

cos (4 θ) + cos (2 θ) = cos (θ)

(tan(x)+3)(tan(x)+2)=0

(tan (x) + 3) (tan (x) + 2) = 0

2tan(θ)+sqrt(6)=0

2 tan (θ) + 6 = 0

8=8cos(3θ)

8 = 8 cos (3 θ)