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Beliebt Trigonometrie >

(tan^2(x))/(sec(x)+1)=tan(x)

Lösung

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} = tan (x)

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} = tan (x)

Subtrahiere

tan (x)

von beiden Seiten

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} - tan (x) = 0

Vereinfache

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} - tan (x) : \frac{tan ^{2} ( x ) - tan ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{sec ( x ) + 1}

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} - tan (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

tan (x) = \frac{tan ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{sec ( x ) + 1}

= \frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} - \frac{tan ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{sec ( x ) + 1}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ^{2} ( x ) - tan ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{sec ( x ) + 1}

\frac{tan ^{2} ( x ) - tan ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{sec ( x ) + 1} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan^{2} (x) - tan (x) (sec (x) + 1) = 0

Faktorisiere

tan^{2} (x) - tan (x) (sec (x) + 1) : tan (x) (tan (x) - 1 - sec (x))

tan^{2} (x) - tan (x) (sec (x) + 1)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

tan^{2} (x) = tan (x) tan (x)

= tan (x) tan (x) - tan (x) (1 + sec (x))

Klammere gleiche Terme aus

tan (x)

= tan (x) (tan (x) - (1 + sec (x)))

Multipliziere aus

tan (x) - (sec (x) + 1) : tan (x) - 1 - sec (x)

tan (x) - (1 + sec (x))

- (1 + sec (x)) : - 1 - sec (x)

- (1 + sec (x))

Setze Klammern

= - (1) - (sec (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 1 - sec (x)

= tan (x) - 1 - sec (x)

= tan (x) (tan (x) - sec (x) - 1)

tan (x) (tan (x) - 1 - sec (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

tan (x) = 0 or tan (x) - 1 - sec (x) = 0

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Löse

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

tan (x) - 1 - sec (x) = 0 : x = 2 πn + π

tan (x) - 1 - sec (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

- 1 - sec (x) + tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 1 - \frac{1}{cos ( x )} + tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 - \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- cos ( x ) - 1 + sin ( x )}{cos ( x )}

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- 1 + sin ( x )}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{- 1 + sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( x ) - 1 + sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- cos ( x ) - 1 + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) - 1 + sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{- 1 - cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 - cos (x) + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos (x) + sin (x)

sin (x) - cos (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

sin (x) - cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) - sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

= - 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4})

- 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (x - \frac{π}{4}) = 1

2 sin (x - \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x - \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} : sin (x - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (x - \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Löse

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn : x = \frac{π}{2} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{π}{4} + \frac{π}{4} + 2 πn

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{π}{4} : \frac{π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + π = 2 π

= \frac{2 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Löse

x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + π

x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + π

\frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} : π

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 3 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + 3 π = 4 π

= \frac{4 π}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= π

= 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 2 πn + π

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{π}{2} + 2 πn

x = 2 πn + π

Kombiniere alle Lösungen

x = πn, x = 2 πn + π

Da die Gleichung undefiniert ist für:

πn, 2 πn + π

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(x)+cos(x)=1,0<= x<2pi

2 cos^{2} (x) + cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

sin(β)=-0,8(θ\in βvc)s=sec(β)-tan(β)

sin (β) = - 0, 8 (θ \in β v c) s = sec (β) - tan (β)

cos((2x-pi)/(17))=0

cos (\frac{2 x - π}{17}) = 0

tan(X)cot(X)-tan(X)+2cot(X)=0

tan (X) cot (X) - tan (X) + 2 cot (X) = 0

sin(x)=-0.3926

sin (x) = - 0.3926