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Beliebt Trigonometrie >

2sin^2(x/2)-cos(x/2)=0

Lösung

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}) = 0

Lösung

x = 2 \cdot 0.67488 \dots + 4 πn, x = 4 π - 2 \cdot 0.67488 \dots + 4 πn

Grad

x = 77.33656 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 642.66343 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (\frac{x}{2}) + 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (\frac{x}{2}) + 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

- cos (\frac{x}{2}) + (1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) \cdot 2 = 0

Löse mit Substitution

- cos (\frac{x}{2}) + (1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) \cdot 2 = 0

Angenommen:

cos (\frac{x}{2}) = u

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0 : u = - \frac{1 + 17}{4}, u = \frac{17 - 1}{4}

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

Schreibe

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2

um:

- u + 2 - 2 u^{2}

- u + (1 - u^{2}) \cdot 2

= - u + 2 (1 - u^{2})

Multipliziere aus

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= - u + 2 - 2 u^{2}

- u + 2 - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 17

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

= 1 + 16

Addiere die Zahlen:

1 + 16 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 17}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 ( - 2 )} : - \frac{1 + 17}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 + 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1 + 17}{4}

u = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 ( - 2 )} : \frac{17 - 1}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 17}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 17}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 - 17}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

1 - 17 = - (17 - 1)

= \frac{17 - 1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 17}{4}, u = \frac{17 - 1}{4}

Setze in

u = cos (\frac{x}{2})

ein

cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1 + 17}{4}, cos (\frac{x}{2}) = \frac{17 - 1}{4}

cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1 + 17}{4}, cos (\frac{x}{2}) = \frac{17 - 1}{4}

cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1 + 17}{4} :

Keine Lösung

cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1 + 17}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (\frac{x}{2}) = \frac{17 - 1}{4} : x = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn, x = 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

cos (\frac{x}{2}) = \frac{17 - 1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (\frac{x}{2}) = \frac{17 - 1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (\frac{x}{2}) = \frac{17 - 1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

\frac{x}{2} = arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, \frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

\frac{x}{2} = arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn, \frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Löse

\frac{x}{2} = arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn : x = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn : 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

x = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

x = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

x = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

Löse

\frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn : x = 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn : 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

x = 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

x = 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

x = 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

x = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn, x = 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn, x = 4 π - 2 arccos (\frac{17 - 1}{4}) + 4 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 \cdot 0.67488 \dots + 4 πn, x = 4 π - 2 \cdot 0.67488 \dots + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(pi/4-x)= 12/13

cos (\frac{π}{4} - x) = \frac{12}{13}

solvefor x,y=fcos(x)

so l v e f or x, y = f cos (x)

sqrt(3)cot(2x)=-1,0<= x<= pi

3 cot (2 x) = - 1, 0 \leq x \leq π

5sin^2(x)-cos(x)=2

5 sin^{2} (x) - cos (x) = 2

(cot(θ)-1)(2sin(θ)+sqrt(3))=0

(cot (θ) - 1) (2 sin (θ) + 3) = 0