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Popular >

sqrt(3)sin(x)+cos(x)=sqrt(2)

Solución

3 sin (x) + cos (x) = 2

Solución

x = 1.83259 \dots + 2 πn, x = 0.26179 \dots + 2 πn

Grados

x = 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 sin (x) + cos (x) = 2

Restar

cos (x)

de ambos lados

3 sin (x) = 2 - cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(3 sin (x))^{2} = (2 - cos (x))^{2}

Restar

(2 - cos (x))^{2}

de ambos lados

3 sin^{2} (x) - 2 + 22 cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 - cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 2 cos (x) 2

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 2 - cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) 2

Simplificar

- 2 - cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) 2 : 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

- 2 - cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) 2

= - 2 - cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) + 22 cos (x)

Expandir

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= - 2 - cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2

Simplificar

- 2 - cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2 : 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

- 2 - cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 22 cos (x) - 2 + 3

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 4 cos^{2} (x)

= - 4 cos^{2} (x) + 22 cos (x) - 2 + 3

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 3 = 1

= 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 22 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

1 - 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2 = 0

Usando el método de sustitución

1 - 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) 2 = 0

Sea:

cos (x) = u

1 - 4 u^{2} + 2 u 2 = 0

1 - 4 u^{2} + 2 u 2 = 0 : u = - \frac{- 2 + 6}{4}, u = \frac{2 + 6}{4}

1 - 4 u^{2} + 2 u 2 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 22 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} + 22 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = 22, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

(22)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1 = 26

(22)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (22)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

(22)^{2} = 2^{3}

(22)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{2} \cdot 2 = 2^{2 + 1}

= 2^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2^{3}

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 2^{3} + 16

2^{3} = 8

= 8 + 16

Sumar:

8 + 16 = 24

= 24

Descomposición en factores primos de

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

divida por

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Simplificar

= 26

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm 2 6}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 2 + 2 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 2 - 2 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 2 + 2 6}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 2 + 6}{4}

\frac{- 2 2 + 2 6}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 2 + 2 6}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 2 + 2 6}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 2 + 2 6}{8}

Cancelar

\frac{- 2 2 + 2 6}{8} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{- 2 2 + 2 6}{8}

Factorizar el termino común

2

= \frac{2 ( - 2 + 6 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 2 + 6}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{- 2 + 6}{4}

u = \frac{- 2 2 - 2 6}{2 ( - 4 )} : \frac{2 + 6}{4}

\frac{- 2 2 - 2 6}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 2 - 2 6}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 2 - 2 6}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 22 - 26 = - (22 + 26)

= \frac{2 2 + 2 6}{8}

Factorizar el termino común

2

= \frac{2 ( 2 + 6 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 + 6}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 2 + 6}{4}, u = \frac{2 + 6}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}, cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}, cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4} : x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{- 2 + 6}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 + 6}{4} : x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2 + 6}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

3 sin (x) + cos (x) = 2

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) + cos (x) = 2

por

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) + cos (arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

1.41421 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) + cos (x) = 2

por

x = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) + cos (- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

- 1.93185 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) + cos (x) = 2

por

x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) + cos (arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

1.41421 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

3 sin (x) + cos (x) = 2

por

x = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) + cos (2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

0.51763 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Falso

x = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.83259 \dots + 2 πn, x = 0.26179 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos(α)=sqrt((1+1/5)/2)

cos (α) = \frac{1 + \frac{1}{5}}{2}

(tan(x))(sin^2(x)-a)(sec(x)-a)=0,0<a<1

(tan (x)) (sin^{2} (x) - a) (sec (x) - a) = 0, 0 < a < 1

sin(pi/2 (x+1))= 2/5

sin (\frac{π}{2} (x + 1)) = \frac{2}{5}

sin(*+pi/2)=cos(x)

sin (\cdot + \frac{π}{2}) = cos (x)

sin(θ)=(0.000069)2(500*10^{-9})

sin (θ) = (0.000069) 2 (500 \cdot 1 0^{- 9})